Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/06/27.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:09 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:42 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

'КВАНТ'

ДЛЯ

'МЛАДШИХ'

ШКОЛЬНИКОВ

Kонкурс имени А.П.Савина

27

'Математика 68'

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 68 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, 'Квант' (с пометкой 'Конкурс 'Математика 68'). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон.

11. Робинзон поручил Пятнице запастись бананами, кокосами, ананасами и дурианами. Пятница решил каждый принесенный банан отмечать палочкой, кокос палочкой и кружочком, ананас двумя кружочками. Может ли Пятница отмечать дуриан какой-нибудь последовательностью из палочек и кружочков, чтобы по его записи (Пятница пишет подряд без пробелов) Робинзон всегда мог однозначно установить, сколько каких плодов было запасено? А.Малеев 12. Сколько существует трехзначных чисел, представимых в виде суммы abc + ab + a ? А.Спивак 13. Докажите, что в выпуклом четырехугольнике ABCD имеются по крайней мере две параллельные стороны тогда и только тогда, когда произведение площадей треугольников ABD и BCD равно произведению площадей треугольников АВС и ACD. А.Джумадильдаев

14. Докажите, что а) среди чисел вида 5m - 5n , где m и n различные натуральные числа, m > n, имеется сколь угодно много квадратов; б) среди чисел вида 7 m + 7 n нет ни одного квадрата, зато имеется сколь угодно много кубов. А.Зайчик 15. Имеется 10 столбиков, содержащих 61, 62, 63, , 70 монет. Двое игроков ходят по очереди, снимая монеты со столбиков. За один ход можно забирать монеты из одного или нескольких столбиков (даже со всех сразу), но количество снятых с каждого столбика монет не может превышать n , где n количество монет в этом столбике. Победителем считается тот, кто возьмет последнюю монету. Кто из игроков может обеспечить себе победу при любой игре соперника? И.Акулич

Великомученик Петя
И.АКУЛИЧ
a +b вестно, их среднее арифметическое это 2 , а среднее геометрическое число ab . Чуть меньшей известностью пользуется среднее гармоническое: 2 2ab . Очевидно, что = 11 a +b + ab a + b 2ab = ab , 2 a +b т.е. произведение среднего арифметического и среднего гармонического равно произведению самих чисел а и b. В 1999 году А.Канель понял, что из этого можно

Р

АССМОТРИМ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА а И Ь. КАК ИЗ-

'слепить' неплохую задачу для олимпиады, примерно такую: Пусть a0 = 1 , b0 = 2 и для любого натурального n числа an и bn соответственно, среднее арифметическое и среднее гармоническое чисел an -1 и bn -1 . Найдите произведение a1999b1999 . Решение состоит в том, что произведение an bn одно и то же для всех n, поэтому a1999b1999 = a0b0 = 2 . Но автор, видимо, решил, что условие выглядит скучновато, и 'оживил' его: На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифмети-