Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/06/kv0602comp_fiz_ol.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:12 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:38:23 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

#

ции, которую покажет вольтметр, будет равна

U=-

BR v 1 2 3 + + =- + t t t 2 (R - r )

2

Bv ( R - r ) Br 2v + 2 R - r + BRv = . 2 ( )

Задачу можно решить и другим, более простым способом, рассматривая не изменение магнитного потока через контуры, а движение проводников в магнитном поле. Заметим, что при движении катушки нескомпенсированная ЭДС возникает только на участке провода, начинающемся в точке касания катушки и стола и заканчивающемся в точке А. Это следует из того, что все идущие вверх участки намотанного на катушку

провода, кроме указанного, имеют соответствующие идущие вниз участки по другую сторону вертикальной оси симметрии катушки, и возникающие в этих участках провода ЭДС взаимно компенсируются. Остающийся 'нескомпенсированным' участок провода имеет длину R r, его начало в любой момент времени покоится, а конец движется вдоль стола со скоростью v, причем скорость точек этого воображаемого проводника, лежащих между его началом и концом, равномерно возрастает от 0 до v. Поэтому средняя скорость этого проводника направлена горизонтально и равна vcp = v 2 , а возникающая в нем ЭДС составляет

U = B ( R - r ) vcp =

Bv ( R - r ) . 2

А.Якута

ОЛИМПИАДЫ

VII Международный турнир 'Компьютерная физика'
Заочный тур. Опыт Франка и Герца
В начале XX века стала понятна недостаточность традиционных классических представлений для описания физических явлений в микромире. Получили развитие новые, квантовые представления о строении вещества. Первая квантовая модель атома водорода была создана Н.Бором в 1913 году. Согласно этой модели, электрон в атоме может иметь только строго определенные значения энергии (энергетические уровни), т.е. атом имеет дискретную структуру. В 1913 году Дж.Франком и Г.Герцем был проведен эксперимент, доказавший наличие в атоме дискретных энергетических уровней (в 1925 году эта работа была удостоена Нобелевской премии по физике). Опыт состоял в следующем. К разрядной трубке, содержащей катод K, анод А и сетку С, подавалось напряжение, как показано на рисунке. Трубка заполнялась насыщенными парами ртути. Электроны эмитировались с поверхности катода, усA KC корялись в пространстве между K и С, а затем попадали в тормозящее поле между С и А. В процессе движения от катода к аноду электроны испытывали упругие и неупругие соударения с атомами ртути. При упругом соударении атом ртути оставался в основном состоянии, при неупругом переходил в возбужденное состояние. В эксперименте измерялся анодный ток (количество электронов, пришедших на анод) в зависимости
Об условиях и порядке проведения этого турнира рассказано в предыдущем номере журнала 'Квант', а также на сайте http://www. informika. ru/text/goscom/gluon.
4 Квант ? 6

от величины напряжения между K и С. Анализ вольтамперных характеристик привел к доказательству того, что при возбуждении атом теряет строго определенное значение энергии, т.е. атом имеет дискретную энергетическую структуру. Двумерная компьютерная модель опыта Франка и Герца Для простоты будем считать, что движение электронов происходит всего в двух пространственных измерениях x, z , причем ось z направлена вдоль оси системы. Предполагается моделировать движение электронов между K и А методом Монте-Карло (методом статистических испытаний). В рамках этого метода прослеживается судьба конкретного электрона, эмитируемого с катода и совершающего случайное движение в газе в результате упругих и неупругих столкновений с атомами ртути. Движение между столкновениями происходит под действием внешнего постоянного однородного электрического поля. Каждое столкновение происходит в случайный момент времени, и направление вектора скорости после рассеяния на атоме ртути является также случайным. Общее представление о физическом процессе величине анодного тока, его зависимости от ускоряющего и тормозящего напряжений, энергетическом распределении электронов в определенной точке пространства и т.п. получается в результате усреднения результатов анализа движения большого количества отдельно взятых электронов. Пусть средняя частота упругих соударений 0 постоянна (т.е. не зависит от энергии). Потеря энергии в неупругих соударениях составляет * = 4, 9 эВ (энергия возбуждения), (Окончание см. на с.40)


40
мx п нx п оx При этих значениях данного неравенства, эквивалентном виде: + 2 > 0, > 0, ?1 м x > -2, п Ы н x ? 0, п x ? +1. о

КВАНT 2002/?6

Решение. Сначала находим допустимые значения:

скобок левой части в силу упражнения 12,г) совпадают со знаками соответствующих выражений, что приводит к легко решаемой системе:

х, перенеся число 2 в левую часть можно переписать его в следующем

(1 - x ) (3x - 2 ) ( 3 - 2x ) ( x - 1) > 0, 1 2 3 < x < 3; x 3 ; x 1 ( x - 1)2 ( 3x - 2 ) (2x - 3) > 0, 1 2 < x < 3; x ; x 1. 3 3 1 23 Ответ:
Упражнение 13. Решите неравенства: а) в)
x2 - 2x - 2x - 1 x - 2 + x + 3x x2 - 5 - 3 1; x+4 -7 x log 4;
2 2

log x ( x + 2 ) - log x x2 < 0, x > -2; x 0; x +1



x+2-x

(

2

)(

x - 1) < 0,

x > -2; x 0; x +1

x + 2 - x 2 x 2 - 1 < 0, x > -2; x 0; x +1.

(

)(

)

Первое преобразование выполнено в силу соотношений упражнения 12,г), а второе упражнения 12,а). Осталось решить полученную систему. Ответ: 2 < x < 1; 1 < x < 0; 0 < x < 1; x <2. В заключение рассмотрим еще один пример на неравенство с логарифмами. Здесь мы еще раз убедимся в том, насколько сведение к методу интервалов сокращает объем решения. Задача 17. Решите неравенство

0;

б) г)

- x 2 + 7x - 6 0; x - 6 x + 5 - x2 - 2x - 3
2

16 - 3 x + x 2 - 3 x - 4 1; 6-x

(

log

3 x -1

( 2x )

- 1) (log

x

(

3 - x ) - 1) > 0 .

д) log

x -2

x -2

Решение. Найдем область определения неравенства: 1 2 < x < 3 ; x ; x 1 . В области определения знаки 3 3

ж)

log log

21+ 4 x - x2

x+ 3

(

(7

-x

)

1 1; е) log x 1 log 4 3 2 x + 4

21 + 4 x - x2

)

<

1 . 4

VII Международный турнир Заочный 'Компьютерная физика'
(Начало см. на с. 25) и эти столкновения возможны для электронов с энергией , большей * . Предположим, что если > * , то частота неупругих соударений равна * . (Обычно выполняется условие * = 0 .) Общая частота столкновений равна = * + 0 , а среднее время между двумя столкновениями (произвольной природы) есть = 1 . Будем считать, что электрон вылетает с катода с нулевой скоростью. Пусть электрон испытал столкновение в момент времени t0 . Тогда вероятность того, что следующее столкновение произойдет в интервале времени от t* до t * + dt , определяется выражением

как

w* =

* . 0 + *

Мы будем предполагать, что упругие и неупругие столкновения изотропны, т.е. рассеяние электрона на любой угол равновероятно. Расстояние между катодом и анодом L = = 1 см, расстояние между катодом и сеткой l = 0,2 см. В поперечном направлении размер системы считать неограниченным. Связь частоты упругих и неупругих столкновений с давлением паров ртути задается соотношениями

0 = A Ч p торр , * = B Ч p тор р ,
9 -1 -1 где A = 3, 5 Ч 1 0 c Ч торр , B = 5 Ч 1 07 c -1 Ч торр-1 (здесь 1 торр внесистемная единица давления, равная 1/760 атмосферы).

dP = exp - t* - t0 Ч dt .
В частности, если t - t0 = , т.е. если рассматриваемый интервал времени много меньше среднего времени между столкновениями, это выражение принимает вид dP = dt . Если столкновение произошло, то вероятность того, что оно было упругим, есть 0 w0 = , 0 + * а вероятность того, что оно было неупругим, определяется
*





Задание
1. Исследуйте зависимость анодного тока от величины ускоряющего напряжения между катодом и сеткой в диапазоне значений UKC = 0, 1 - 15 В. Считать, что UCA изменяется от 0,2 В до 0,5 B, а давление паров ртути составляет р = 1 торр. 2. Исследуйте зависимость анодного тока от давления паров ртути в диапазоне значений p = 0,1 10 торр. Считать, что UKC = 10 В. 3. Получите распределение электронов по энергиям в различных областях пространства между катодом и анодом.