Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:05 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:43 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: trees

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

45
(где Q =

прямоугольных треугольников, имеющих общие гипотенузы, а значит, и одинаковые коэффициенты подобия. Действительно, вписанные углы ABE и ADE опираются на дугу АЕ и потому равны, значит, треугольники BA1E и DD1E BE a =. подобны с коэффициентом k = DE x Далее, углы BBE и C1DE равны, так как дополняют 1 один и тот же угол CDE до 180њ (по свойству вписанного четырехугольника ABCD), значит, треугольники BB1E и BE b =. DC1E тоже подобны с тем же коэффициентом k = DE c Окончательно имеем

подобных треугольников IQA и I2QD 1 = AI2 I DI1 ) уже имеет тупой угол. Значит,

РI1 AI2 = РI1DI2 =

. 6

Докажем, что РBAC = 2РI1 AI2 = 2 = . Действительно, 6 3 угол ВАС есть разность двух углов BA D и CA D ( РBAC = РBAD - РCAD ), а угол I1 AI2 образован биссектрисами последних. Но тогда
РI1 AI2 = РI1 AD - РI2 AD =

Упражнение 8 (МГУ, физфак, 1971). В окружность вписана трапеция ABCD ( AD P BC , AD > BC ). На дуге CD, не содержащей вершин А и В, взята точка S. Точки Р, Q, M и N являются основаниями перпендикуляров, опущенных из S на прямые CD, АВ, AD и ВС соответственно. Известно, что SM = a, SN = b, SP = c. Найдите отношение площадей треугольников MQS и MPS.

ab = Ю ac = bx . x c ac . Искомое расстояние равно x = b

1 1 1 РBAD - РCAD = РBAC , 2 2 2

откуда

РBAC =
Упражнения

, а BC = 3 . 3

Задача 5 (МГУ, геогр. ф-т, 1989). В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали АС и BD. Известно, что AD = 2, РABD = РACD = 90њ и расстояние между точкой пересечения биссектрис треугольника ABD и точкой пересечения биссектрис треугольника B C ACD равно 2 . Найдите длину стороны I I ВС. Решение. Из точек В Q A D и С отрезок AD виден под одним и тем же (пряРис. 7 мым) углом. Значит, четырехугольник ABCD является вписанным в окружность с диаметром AD = 2 (рис.7), причем

9. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведена диагональ АС, AD = 7, BC = 3, РACD = 60o . Известно, что точки А, В, С, D лежат на одной окружности и перпендикуляр, проведенный из точки А к стороне CD, делит угол BAD пополам. Найдите длину диагонали АС. 10. В выпуклом четырехугольнике KLMN проведены диагонали KM и LN. Известно, что РKLM = РKMN = 60o , LM = 3 и расстояние между точкой пересечения биссектрис треугольника KLN и точкой пересечения биссектрис треугольника KMN равно 1. Найдите длину стороны KN. 11 (МГУ, геогр. ф-т, 1986). Внутри треугольника АВС взята точка K. Известно, что длина стороны ВС равна 1, длина стороны АВ равна равны 30њ, 120њ и 120њ соответственно. Найдите длину отрезка BK.
3 , а величины углов АВС, AKB и CKB 2

BC = 2R sin РBAC , где R =

1 AD = 1 . 2

Задача, следовательно, сводится к отысканию угла ВАС. Если из точки В окружности отрезок AD виден под углом , то из центра I1 вписанной в V ABD окружности отрезок + (см. задачу 1). Так как AD виден под углом 2 РABD = РACD = , I1 и I2 центры вписанных в V ABD 2 и V ACD окружностей, то ц 3 1ж ч з РAI1D = РAI2 D = з + ч = 2ч 4. 2з и ш Значит, четырехугольник AI1I2 D тоже является вписанным в окружность. Ее радиус

Задача 6 (МГУ, геогр. угольнике ABKC длина диагонали ВС равна 1, а величины углов АВС, BKA и BKC равны 120њ, 30њ и 60њ соответственно. Найдите длину стороны BK. Решение. Отрезок BK виден из точек А и С под углами РBAK = и РBCK = ч соответственно (рис.8). Из треугольников АОВ и KOC
o

ф-т, 1986). В выпуклом четырехстороны АВ равна 3 , длина B x K њ



њ

O

! !

њ

A
Рис. 8

$њ ` ч
C

получаем

РAOB = РCOK = 180 -РABO -РBAK =
o o o = 180 - 120 - = 60 - ,

AD R1 = = 2sin РAI1D
Так как I1I2 = 2R1 sin РI1 AI2 , то

2 2sin

ч = 180o - РCOK - РOKC =
= 180o - 60o - - 60o - 30

3 4

= 2.





o



= 90 o + .

II 1 sin РI1 AI2 = 1 2 = . 2 R1 2

Найдем радиусы описанных около V ABK и VCBK окружностей:

Аналогично,

RABK =

sin РI1DI2 =

1 . 2

AB 3 = = 3, 2sin РAKB 2sin 30o
BC 1 1 = = o 2sin РBKC 2sin 60 3

Вписанные углы I1 AI2 и I1DI2 острые, так как каждый из

RBCK =