Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/31.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:04 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:38 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

31

вначале ракета покоилась, то после сгорания первой порM1 = M0 N , имевшей импульс ции массой p1 = ( M0u ) N , скорость ракеты станет равной
v1 = p1 u = M1 N - 1 .

После сгорания второй порции топлива массой M2 = M1 N , унесшей импульс p2 = ( M1u ) N , скорость ракеты возрастет на p2 ( M1 - M1 N ) и составит

Число мегаджоулей справа показывает, какая энергия выделяется при взаимодействии одного моля бериллия (9 г) с половиной моля кислорода (16 г). Стало быть, теплота сгорания в этом случае равна 0,612 МДж/0,025 кг = = 24,5 МДж/кг, а наибольшая скорость истечения газов составляет

2 24, 5 106 Дж кг = 7 км с .
Однако в дальнейших расчетах мы примем скорость истечения равной всего 2,5 км/с, поскольку, во-первых, такие энергетически выгодные реакции, как окисление бериллия, использовать невозможно из-за высокой токсичности и самого бериллия и его соединений, а во-вторых, фактическая скорость истечения всегда оказывается меньше максимальной. Теперь по формуле Циолковского находим, что при достижении, например, первой космической скорости (7,9 км/с) конечная масса ракеты окажется равной
M = M 0e
-7,9 2,5

u 2u = v2 = v1 + . N -1 N -1
Продолжая рассуждения далее, получим скорость ракеты после сгорания n-й порции: nu vn = . (2) N -1 Из равенств (1) и (2) получаем массу ракеты, достигшей скорости v:

1 M = M0 1 - N

v( N -1) u

=

M0 M0 = 37 . e3,6

(индекс n здесь и далее опущен, поскольку надобности в нем больше нет). На самом деле топливо в ракете сгорает не отдельными порциями, а непрерывно. Для перехода к формуле, более правильно описывающей реальный случай, нужно считать N чрезвычайно большим числом. В таком случае единицей в показателе степени последнего выражения можно пренебречь, после чего оно приобретает вид
N 1 = M0 1 - N или при неограниченном возрастании N

1 M = M0 1 - N

vN u

vu

,

M = M0e

-v u

.

Иначе говоря, масса горючего должна составлять 36/37 = = 97,5% от стартовой массы ракеты. Естественно, что на долю действительно полезного груза (экипаж, приборы и т.п.) остается совсем немного. Вот почему для уменьшения бесполезной массы, которую пришлось бы разгонять до большой конечной скорости, ракеты (по идее, впервые выдвинутой также Циолковским) делают многоступенчатыми, причем нижние ступени сбрасываются, когда в них кончается топливо. Для окончательной оценки затрат на запуск ракеты введем коэффициент полезного действия, определив его как отношение кинетической энергии массы ракеты, оставшейся к моменту достижения нужной скорости, к химической энергии сгоревшего топлива:

Эта формула была выведена К.Э.Циолковским и носит его имя. Из нее хорошо видно, что ракета может достичь большой скорости, но при этом оставшаяся масса окажется много меньше первоначальной. Пользуясь формулой Циолковского, можно оценить, сколько горючего нужно сжечь, чтобы сообщить ракете необходимую скорость. Однако для этого следует знать относительную скорость истечения газов из сопла ракеты. Чтобы найти ее, приравняем кинетическую энергию небольшой массы m газа, вылетевшей из ракеты за малый интервал времени, той химической энергии, которой обладала эта масса до того, как она сгорела. Обозначив теплоту сгорания (теплотворную способность) топлива через q, получим равенство
mu2 = mq , 2

=

(

Mv2 2 v2 = . M0 - M ) q 2 ( M0 M - 1) q

Пользуясь формулой Циолковского и выражением для максимальной скорости истечения газов, получим, обозначив отношение v/u через k, следующее соотношение:
= u
2

(

v e

2

vu

-1

)

=

k
k

2

e -1

.

откуда

u = 2q .
Теплота сгорания смеси керосина с азотной кислотой, иногда используемой в ракетной технике, составляет приблизительно 6,3 МДж/кг, и скорость истечения, следовательно, не может превысить

График зависимости от k показан на рисунке. Из него хорошо вид- 0,6 но, что при скорости ракеты, заметно превы- 0,4 шающей скорость истечения газов, коэффици- 0,2 ент полезного действия становится очень ма6 8 10 k 2 0 4 лым. Например, при k = 10 коэффициент составляет 0,45%. Это уже малая величина, но в действительности дело обстоит еще во много раз хуже.

2 6,3 106 Дж кг = 3,55 км с .
Одна из самых больших возможных скоростей истечения достигается при использования реакции горения металлического бериллия в атмосфере кислорода:
Be + 0, 5O2 = BeO + 0, 612 Мдж .
8*