Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/11.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:03 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:12 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

КИНЕМАТИКА

В

ПЛАНИМЕТРИИ

11

Случай
o

- =

=180 . В этом случае треугольник PLK вырождается в C отрезок, и искомый полюс Р лежит внутQ ри отрезка LK и делит его в отношении K m : n. A DB Задача 4. На стоРис. 9 ронах треугольника АВС построены квадраты (рис.9). Точка L вершина одного квадрата, а точка K середина стороны другого. Точка Q вершина равнобедренного прямоугольного треугольника QDB, катеты которого BD = = DQ = (1/3)AB. Докажите, что точки L, Q и K лежат на одной прямой и точка Q делит отрезок LK в отношении 2 : 1. Решение. Здесь = 90o , = -90o , m = 1, n = 1/2. Поскольку в этой задаче - = 180o и m/n = 2, то искомый полюс Р лежит на отрезке LK и делит его в отношении 2 : 1. Осталось только доказать, что полюс находится в точке Q, L которая указана в условии задачи. Совместим точку С с точкой В (рис.10). Квадрат, построенный на стоP роне ВС, вырождается в точку. Полюс Р должен лежать на диагонаBC,K ли LB квадрата, построA енного на стороне АВ, и Рис. 10 делить LB в отношении 2 : 1, т.е. PB = 0,5PL = (1/3)BL. Отсюда BD = = (1/3)AB, а точки Р и Q совпадают. Общий случай. Рассмотрим теперь решение конкретной задачи в общем случае, когда и m n . Задача 5. На сторонах АС и ВС треугольника АВС построены прямоугольные треугольники CLA и BKC с острым углом L 30њ (рис.11). Точка Q делит отрезок C АВ в отношении AQ : QB = 3 : 1. Докажите, что треуK гольник LQK прямо! угольный. $ Решение. Здесь A B Q мы имеем такие соРис. 11 отношения: = 30o , o = -60o , - = 90 , o o m = AL AC = cos 30 = 3 2 , n = BK BC = cos 60 = 1/2, m n = 3 . Найдем полюс Р в этом случае. Совместим точку С с точкой В. При этом треугольник BKC выродится в точку, треугольник CLA займет положение, показанное на L рисунке 12. В данном случае, поскольку - = 90o и m n = 3 , полюс Р является верши! $ BC,K ной прямого угла A Q прямоугольного Рис. 12
L
3*

треугольника с гипотенузой BL и отношением катетов PL : PK = m n = 3 . Легко проверить, что точка Q, заданная в условии задачи, отвечает этим требованиям. Тем самым получается, что полюс Р совпадает с точкой Q. Отсюда и следует, что треугольник LQK прямоугольный. В самом общем случае отыскание полюса Р сводится к задаче нахождения точки пересечения двух окружностей (или двух дуг окружностей). Одна из них множество точек, из которых отрезок KL виден под углом - . Другая множество точек, для которых отношение расстояний до двух данных точек K, L постоянно и равно m/n, это окружность Аполлония. Теперь ясно, что возможны и другие специальные случаи, отличные от вышеприведенных трех. Например, при m = n окружность Аполлония заменяется на серединный перпендикуляр отрезка KL, а при - = 90o полюс Р лежит на окружности с диаметром KL. Из этих рассуждений ясно, что полюс существует всегда, за исключением единственного случая, когда - = 0o и m = n. Можно сказать, что здесь полюс 'уходит в бесконечность'. В этом случае можно воспользоваться формулой (8), r r r r r r которая примет вид rL = rK + R , или rL - rK = R , что uuuu r r равносильно равенству KL = R (в таком случае говорят, что отрезок KL движется поступательно). Последuuuu r нее равенство означает, что вектор KL не зависит от положения точки С. Задача 6. На сторонах треугольника АВС построены прямоугольные треугольники CLA и CKB с острыми углами и L (рис.13). Докажите, что KL = AB cos и KL C образует с прямой АВ угол . Решение. В этой заK даче - = 0o , m = n = uuuu r r = cos , т.е. KL = R . В A B качестве определяюще- Рис. 13 го положения точки С выберем такое, когда она совмещена с точкой В. Тогда и точка K совпадет с точкой В (треугольник BCK вырождается в точку). При этом KL = AB cos и образует с прямой АВ L угол , что и требовалось доказать (рис.14). Из разобранных задач ясно, BC,K что главный мо- A мент решения Рис. 14 нахождение полюса относительно заданного в условии треугольника. Более того, становится ясно, как составлять задачи такого рода. Можно взять треугольник, два 'хороших' угла и (например такие, чтобы их разность была 0њ, 90њ или 180њ), два удобных числа, найти при этих данных полюс. Затем указать три точки, соответствующие выбранным углам, числам и полюсу. И сформулировать задачу о взаимном положении полученных трех точек. Попробуйте! (Напоминаем, что ориентация вершин треугольников и четырехугольников против часовой стрелки.