Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/52.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:59 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:16 2012 Кодировка: Windows-1251

#

ВА T 0 2 ?Ы ОКЛ ИНМП2 И0 А/ Д 4

LXV Московская математическая олимпиада
Математический праздник
6 класс 1. Решите ребус БАО Ч БА Ч Б = 2002 . А.Блинков, А.Хачатурян 2. Незнайка разрезал фигуру (рис.1) на трехклеточные и четырехклеточные уголки, нарисованные справа от нее. Сколько трехклеточных уголков могло получиться? А.Митягин 3. На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стерли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002. Какие числа остались на доске? В.Произволов 2. См. задачу 2 для 6 класса. 3. В написанном на доске примере на умножение хулиган исправил две цифры. Получилось 4 Ч 5 Ч 4 Ч 5 Ч 4 = 2247 . Восстановите исходный пример. И.Ященко 4. При помощи пластмассового угольника с углами 30њ, 60њ и 90њ постройте угол величиной 15њ. М.Панов 5. Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 8 ? 8 , соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 36 клеток (рис.3). Побейте его рекорд закрасьте 42 клетки! И.Акулич 6. В шахматном турнире на звание мастера спорта участво- Рис. 3 вали 12 человек. Каждый сыграл с каждым одну партию. За победу в партии дают одно очко, за ничью пол-очка, а за поражение ноль очков. По итогам турнира звание мастера спорта присвоили тем участникам, которые набрали более 70% от числа очков, получаемых в случае выигрыша всех партий. Могли ли стать мастерами спорта а) 7; б) 8 участников? Е.Иванова

Рис. 1

4. Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7 ? 7 , соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку (рис.2). Побейте его рекорд закрасьте 33 клетки! И.Акулич 5. Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алеше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотые и 3 серебряные. Каждому досталось по две монеты. Илья Рис. 2 Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алеше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит 'да', 'нет' или 'не знаю' и по ответу на который вы сможете понять, какие монеты ему достались. А.Чеботарев 6. Айрат выписал подряд все числа месяца: 12345678910111213... и покрасил дни рождения троих своих друзей. Оказалось, что никакие два дня рождения не идут подряд и все непокрашенные промежутки состоят из одинакового количества цифр. Докажите, что первое число месяца покрашено. И.Григорьева 7 класс 1. 2002 год-палиндром, т.е. одинаково читается слева направо и справа налево. Предыдущий год-палиндром был 11 лет назад (1991). Какое максимальное число годовнепалиндромов идут подряд между 1000 и 9999 годами? Г.Гальперин, Д.Григоренко

Избранные задачи для старших классов1
1. Дана окружность с диаметром АВ. Другая окружность с центром в точке А пересекает отрезок АВ в точке С, причем 1 AC < AB . Общая касательная двух окружностей касается 2 первой окружности в точке D. Докажите, что прямая CD перпендикулярна АВ. (8) А.Заславский 2. Двое игроков по очереди выставляют на доску 65 ? 65 по одной шашке. При этом ни в одной горизонтали или вертикали не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход проиграл. Кто выиграет при правильной игре? (8) А.Бучин 3. В треугольнике АВС медианы AD и ВЕ пересекаются в точке М. Докажите, что если угол АМВ а) прямой; б) острый, то АС + ВС > 3AB. (8) И.Богданов
1 В скобках после условия задачи указан класс, в котором она предлагалась.