Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/43.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:59 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:25:00 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

СЮРПРИЗЫ

uuuu r uuuur Поскольку PP2 = P2P3 , то 1 uuuuu r uuuuu r uuuuu r uuuuu r uuuuu r x A1 A2 + y A1 A3 + z A1 A4 - y A1 A2 + z A1 A3 = uuuuu r uuuuu r uuuuu r uuuuu r uuuuu r uuuuu r = x A1 A3 + y A1 A4 + z A1 A5 - x A1 A2 + y A1 A3 + z A1 A4 ,

43











откуда
Рис. 3

2x - y A1 A2 + 2y - z - x A1 A3 + 2z - y A1 A4 = z A1 A5 .
Так как то площадь этого же треугольника, если точки P и A лежат по разные стороны от BC.) Лемма. Еслиr точкаr P прямой AB обладает тем свойuuu uuu ством, что AP = AB , то для любой точки O имеем uuur uuu r uuur OP = 1 - OA + OB . Доказательство. uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuur OP = OA + AP = OA + AB = OA + OB - OA =

uuuuu r

uuuuu r

uuuuu r

uuuuu r

uuuuu r 2 uuuuu uuuuu uuuuu r r r A1 A5 = A A + A1 A3 + A1 A4 , 3 12







uuu r uuur = 1 - OA + OB .





Добавляя к этим уравнениям известное нам равенство x + y + z = 1, получаем систему из четырех уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, находим ответ: x = 0,3, y = 0,4 и z = 0,3. Вернемся к нашей оси l. Прямая l равноудалена от точек A1 , A2 , A3 ,... На какое расстояние? Конечно, если не знать длину ребра исходного правильного тетраэдра, то ответить на этот вопрос невозможно. Пусть uuuuu определенности для r r r uuuuu r A1 A2 = 1 . Обозначим для краткости A1 A2 = a , A1 A3 = b , uuuuu rr A1 A4 = c . Тогда r r r a 2 = b 2 = c 2 = 1, rr r r 1 rr ab = bc = ca = . 2 Для любой точки M прямой PP2 существует такое число t, 1 что uuuur uuuu r PM = t P1P2 . 1 В силу леммы uuuuu r uuuu r uuuur u AM = 1 - t A1P1 + t AP2 = 1 1 r r r r r = 1 - t 0, 4a + 0, 3b + t 0, 3a + 0, 4b + 0, 3c .

м п п2 x - y = 2 z, п 3 п п п п п2 y - z x = 2 z, н 3 п п п п 2 п2 z - y = z. п п 3 п о

Теорема. Если (x; y; z) барицентрические координаты точки P плоскости ABC относительно треугольника ABC, то x+y+z=1 и для любой точки O пространства uuur uuu r uuu r uuur OP = xOA + yOB + zOC . Доказательство. Во-первых,
x+y+z= = S S
PBC ABC

+

S S

P CA A BC

+

S S

PAB ABC

=

S

P BC

+ SPCA + S S A BC

PA B

=

S S

A BC ABC

= 1.

Во-вторых, обозначив буквой K точку пересечения прямой CP с прямой AB (случай параллельности прямых CP и AB легко разобрать отдельно), имеем uuur uuur AK : KB = y : x (случай x = 0 рассмотрите отдельно), так что в силу леммы uuuu r r x uuu y uuur OK = OA + OB x+y x+y (случай x + y = 0 соответствует уже выделенной нами ситуации CP P AB ). Поскольку uuu r uuur uuur S CP = CAPB C K = x + y CK , SABC то в силу леммы uuur uuur uuur uuuu r OP = 1 - x - y OC + x + y OK = zOC + uuu r uuur uuur r ж x uuu ц y uuur ч з + x + y з OA + OBч = xOA + yOB + zOC . ч зx + y x+y и ш Теперь мы готовы заняться вычислением барицентрических координат (x; y; z) точек P1 , P2 и P3 относительно треугольников A1 A2 A3 , A2 A3 A4 и A3 A4 A5 соответственно. (Заметьте: поскольку при винтовом вращении точки P1 , A1 , A2 и A3 переходят в точки P2 , A2 , A3 и A4 соответственно, а при повторном винтовом движении в точки P3 , A3 , A4 и A5 , то мы не ошиблись, выписав только один набор барицентрических координат, а не три.) По теореме имеем uuuu r uuuuu r uuuuu r AP = y A1 A2 + z A1 A3 , 11 uuuur u uuuuu r uuuuu r uuuuu r AP2 = x A1 A2 + y A1 A3 + z A1 A4 , 1 uuuur u uuuuu r uuuuu r uuuuu r AP3 = x A1 A3 + y A1 A4 + z A1 A5 . 1




2



Следовательно, r uuuuu 2 r r r AM 2 = A1M = 0, 4 - 0,1t a + 0, 3 + 0,1t b + 0, 3tc 1



2 = 0, 4 - 0,1t + 0, 3 + 0,1t + 0, 09t +

2



2

=

+ 0, 4 - 0,1t0, 3 + 0,1t + 0, 3 + 0,1t Ч 0, 3t + 0, 3t 0, 4 - 0,1t,
откуда

100 AM2 = 4 - t + 1 + 3 + t + 9t2 + 4 - t 3 + t + 3t 3 + t + 3t 4 - t .
Раскрыв скобки, получаем в правой части квадратный трехчлен
2

2

10t2 + 20t + 37 = 10 t + 1 + 27 ? 27 ,
причем при t = 1 достигается равенство. Таким образом, расстояние от точки A1 до прямой l т.е. минимальное 27 33 = значение расстояния AM равно . 1 100 10

2