Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/49.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:59 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:41 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: trees

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

49

Решение. Воспользуемся формулой (3):
ж ц h cos з1 - sin cos ч ч з ч з n и ш . R1 = 2 sin

Далее находим

NO1 =
Таким образом,

R1 . cos

ж ц h cos зcos - sin ч ч з з nч и ш , где 0 < < . NO1 - h = n sin2

Отсюда следует, что точки O1 и Н совпадают тогда и только ж ц тогда, когда cos = sin , или cos = cos з - ч , откуда з2 nч ч з n и ш = - . Точка O1 лежит на высоте пирамиды, если 2n NO1 < NH , или

Чтобы вывести формулу б), найдем зависимость между величинами а и b. Имеем: HA1 = b cos , a = 2HA1 sin . n Значит, a = 2b sin cos . Подставив значение а в предыдуn щую формулу, получим b 1 - 2sin cos n . d= 2sin Из формулы а) следует, что центры О и O1 совпадают тогда и только тогда, когда a = b, т.е. когда все боковые грани пирамиды равносторонние треугольники, что возможно лишь при n < 6. Из формулы б) следует, что d = 0 лишь при условии . n Так как cos < 1 , то это возможно лишь при n = 3, n = 4 и n = 5. Заметим, что если n = 4, то = . При этом точки О, O1 4 и Н совпадают. Итак, центры О и O1 могут совпадать только тогда, когда правильная пирамида треугольная, четырехугольная или пятиугольная. Задача 4. Докажите, что в правильной шестиугольной пирамиде расстояние d между центрами сфер, описанной около пирамиды и касающейся всех ее ребер, выражается формулой
2sin

2sin

cos = 1 , или cos = n

1

ж ц cos < cos з - ч , откуда > - . з2 nч ч з 2n и ш Наконец, если < - , то точка O1 лежит на продолже2n нии высоты пирамиды NH , т.е. вне пирамиды. В частности, для правильной треугольной пирамиды полу чаем = , для четырехугольной пирамиды = , для 6 4 шестиугольной = . 3 Элементарно-геометрическим способом нетрудно доказать, что в правильной n-угольной пирамиде центры описанной и вписанной сфер совпадают тогда и только тогда, когда плоский угол при вершине пирамиды равен , т.е. сумма n всех плоских углов при вершине равна . Могут ли в правильной n-угольной пирамиде совпадать центр описанной сферы и центр сферы, касающейся всех ребер пирамиды? Решив следующую задачу, получим ответ на этот вопрос. Задача 3.Докажите, что расстояние d между центром О сферы, описанной около правильной n-угольной пирамиды, и центром O1 сферы, касающейся всех ее ребер, может быть выражено формулами 1 - 2sin cos a -b n а) d = , б) d = b , 2sin 2sin
где а и b пирамиды, основания. Решение. NO1 - NO . длины сторон основания и бокового ребра угол наклона бокового ребра к плоскости Расстояние между центрами сфер равно Из треугольника NO1L (см. рис.3) находим

d=

1 b tg . 2 2

Решение. Пусть NH высота правильной шестиугольной пирамиды, О центр описанной около нее сферы, O1

N

L F A B
Рис. 4

O O H C M

E D

NL = b -

a 2b - a , NO1 = . 2 2sin

Из треугольника MNA1 имеем

MN = 2R =
Следовательно,

b b , откуда R = . 2sin sin
b-a , 2sin

центр сферы, касающейся всех ее ребер (рис.4). Воспользуемся результатом задачи 3 и получим ж ц b з1 - 2sin cos ч ч з ч b 1 - cos 1 з 6 и ш = = b tg . NO1 - NO = 2 2sin 2sin 2 Так как 0o < < 90o , то NO1 - NO > 0 . Это значит, что центр описанной сферы при любом значении лежит между вершиной пирамиды и центром сферы, касающейся всех ее ребер. Задача 5. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды, равен R. Радиус сферы, касающейся всех ее ребер, равен R1 . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду, и расстояния от вершины пирамиды

NO1 - NO = NO1 - R =

или

d=

a -b . 2sin