Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/18.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:58 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:20 2012 Кодировка: Windows-1251

&

КВАНT 2002/?4

чит свет и один раз выключит. По окончании пути весь объект будет неосвещен. б) Если раскрасить вершины в шахматном порядке, то сторож может перебраться в вершины того же цвета, что и левый нижний угол, и только в эти вершины. Почему? Да потому что сторож может 'пройти по диагонали', т.е. перебраться в единичном квадрате ABCD из А в противоположную вершину С. Для этого достаточно пройти по пути ABCDABC, щелкая всеми встречающимися выключателями, кроме D. Умея 'проходить по диагонали', сторож сможет пройти в любую вершину того же цвета, что и левый нижний угол. И сторож не может перебраться в вершины другого цвета. Чтобы доказать это, докажем, что если сторожу удалось погасить весь свет, то он сделал четное число переходов по единичным коридорам. (Этого достаточно: так как каждый переход меняет цвет вершины, то после четного числа переходов цвет вернется к первоначальному.) Будем считать, что каждый переключатель может находиться в положениях ВВЕРХ или ВНИЗ и что вначале все переключатели были ВНИЗ. Заметим, что на концах освещенного коридора положения переключателей различны. Сторож может выполнять элементарные действия двух видов: щелкать выключателем и переходить от выключателя к соседнему выключателю по освещенному коридору. После любого из таких действий он оказывается у противоположно направленного переключателя. В полностью неосвещенном объекте все выключатели будут одинаково ориентированы: все ВВЕРХ или все ВНИЗ. Разберем оба случая. Если в конце все выключатели ВНИЗ, то сторож в сумме совершил четное число действий, так как начал и закончил у выключателя ВНИЗ. Поскольку он щелкнул каждым выключателем четное число раз, то общее число щелчков тоже четно. Значит, четно и число переходов. Если же в конце все выключатели ВВЕРХ, то сторож сделал в сумме нечетное число действий. Но так как всего выключателей 81 (нечетное число!), причем каждым сторож щелкнул нечетное число раз, то общее число щелчков тоже нечетно. Значит, число переходов и в этом случае четно. А.Шаповалов

щади четырехугольни- B C ка APCQ плюс площадь треугольника PQM. P M Симметрично отразим VCPB относительно прямой СР, а VCQD относительно прямой CQ. При этом отраженQ ные точки В и D 'склеятся' в одну точку N. Значит, суммарная пло- A D щадь треугольников Рис.2 PAQ, PCB и QCD равна площади четырехугольника APCQ плюс площадь треугольника PQN. Остается заметить, что площади треугольников PQM и PQN равны, поскольку сами треугольники равны. В.Произволов

М1804. Докажите, что a b c + + 1 2 2 2 a + 8bc b + 8ca c + 8ab для любых положительных чисел а, b и с.
Так как выражение тельно а, b и с (т.е. можем считать, что Из равенства abc = в левой части однородно относиf a, b, c = f la, lb, lc ), то мы abc = 1. 1 следует, что

a a + 8bc
Пусть
2

=

1 1 = . 8abc 8 1+ 3 1+ 3 a a

8 8 8 = x , 1+ 3 = y , 1+ 3 = z , a3 b c тогда нужно доказать неравенство 1 1 1 + + ?1 Ы x y z 1+


xy + xz + yz ? xyz Ы xy + xz + yz +

+ 2 x 2 yz + 2 xy2 z + 2 xyz 2 ? xyz Ы xy + xz + yz + + 2 xyz

М1803. В квадрате ABCD взяты точки Р и Q такие, что PAQ = QCP = 45њ (рис.1). Докажите, что суммарная площадь треугольников PAQ, PCB и QCD равна суммарной пло+ щади треугольников * QCP, QAD и РАВ. Симметрично отразим V APB относительно 2 прямой АР, а V AQD относительно прямой 3 AQ. При этом отраженные точки В и D 'склеятся' в одну точку М (рис.2). Значит, суммарная площадь ) , треугольников QCP, Рис.1 QAD и РАВ равна пло-



x + y + z ? xyz . (1)

Теперь, применив неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, находим

x = 1+
поэтому

1 1 ж 1 ц8 9 + K + 3 ? 9 9 1Ч з 3 ч = 8 3 , зч зa ч a 3 4244444 a43 иш a 14444
8 раз

x?

3 . Аналогично, a4 3 3 3 y ? 43 , z ? 43 , b c xyz ? 27 = 27

следовательно,

и

abc
3

43

x+ y+ z ?3

xyz ? 3 3 27 = 9 .