Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/09.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:57 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:09 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

УРАВНЕНИЯ

ПЕЛЛЯ

9

через факториалы: x - 1! x! = y - 1! x - y + 1! y ! x - 1 - y! . После очевидных преобразований получаем

схема работает. Первым делом раскроем скобки и приведем подобные:

x 2 - 3xy + y2 + x - y = 0 .
Теперь освободимся от членов первой степени. Для этого выполним замену x = X + a, y = Y + b, получив уравнение

xy = x - y + 1 x - y .
Теперь применим некоторый специальный трюк. Обозначим буквой d наибольший общий делитель чисел x и y. Тогда x = ad и y = bd, где a и b взаимно просты. Подставив выражения для x и y в уравнение, после сокращения на d получим равенство
abd = ad - bd + 1a - b .

X 2 + 2aX + a 2 - 3XY - 3aY - 3bX - 3ab + Y 2 +
+ 2bY + b2 + X + a - Y - b = 0 ,

и приравняем коэффициенты при X и Y к нулю:

Поскольку числа a b и ab взаимно просты и поскольку числа d и ad bd + 1 тоже взаимно просты, то

мa = b + d, п мab = ad - bd + 1, п п п т.е. нb + d b = b + d d - bd + 1. н п пd = a - b, п о п о
Последнее уравнение после упрощений приобретает вид b2 + bd - d2 = 1 . Его решения в натуральных числах нам известны из предыдущего номера журнала: b = 2k-1 и d = 2k , где k натуральное число. Таким образом,

м2a - 3b + 1 = 0, п п н п-3a + 2b - 1 = 0. п о
Решив эту систему, находим a = 1/5 и b = 1/5. При этих значениях a и b уравнение принимает вид

X 2 - 3XY + Y 2 =
где X = x +

1 1 и Y = y - . Домножив обе части 5 5 уравнения на 20, получаем 20 X 2 - 60XY + 20Y 2 = 4,
5 4 X 2 - 12 X Y + 9Y

1 , 5

мx = ad = 2k-1 + 2k 2k = 2k 2 п п н пy = bd = 2k-12k , п о

k+1,



2

-

25Y 2 = 4,

как и было обещано. Например, при k = 1, 2, 3 имеем, соответственно, (x; y) = (2; 1), (15; 6), (104; 40).
Замечание. Строго говоря, надо бы проверить, что всякая пара чисел x; y = 2k2k +1; 2k-12k удовлетворяет равенству x - y + 1 x - y = xy . Немного подумав, можно понять, что это очевидно: двигаться 'снизу вверх' по только что изложенному решению даже легче, чем 'сверху вниз'. Впрочем, можно обойтись и без использования интеллекта:
x - y = 2
k +12k

2 2 5Y - 5 2 X - 3Y = -4,

z 2 - 5t 2 = -4 ,
где z = 5Y = 5y 1 и t = 2X 3Y = 2x 3y + 1. Пора воспользоваться следствием из теоремы 7. А именно, все решения уравнения z 2 - 5t 2 = +4 в натуральных числах даются формулой z; t = n+1 + + n-1; n . При этом знаку '+' соответствуют четные n, а знаку '' нечетные. Осталось понять, при каких нечетных n число z = n+1 + n-1 дает остаток 4 при делении на 5. Выпишем остатки от деления нескольких первых чисел Фибоначчи на 5:
6 8 3 3 7 13 3 4 8 21 1 2 9 34 4 1 10 55 0 3 11 89 4 4 12 144 4 2 13 233 3 1 14 377 2

- 2

k-12k

= 2

k +1

- 2

k-1



2k = 2 2

k

и
x - y + 1 = 2k + 1 , 2

n n n mod 5 n-1 + n так что

+1

mod 5

1 1 1 1

2 1 1 3

3 2 2 4

4 3 3 2

5 5 0 1

2 (Мы воспользовались тождеством 2 k + 1 = 2 k+12 k-1 , которое является частным случаем тождества упражнения 20,а.)

x - y + 1 x - y = 2k + 12k = 2 k2 2 2

k +12 k-12 k

= xy .

Закономерность очевидна: n ? 3 mod 4 . z + 1 n-1 + n+1 + 1 = Итак, y = и 5 5

Мы решили уравнение

x - y + 1x - y = xy ,
применив довольно неожиданный трюк. Но есть и другой стандартный способ. А именно, есть стандартная схема, по которой решают в целых числах уравнения второй степени. Давайте посмотрим, как эта
3 Квант ? 4

t + 3y - 1 n + 3 = x= 2

n-1 + n 5 2

+1

+1

-1

=

=

n+1 + n+3 - 1 , 5

где n ? 3 m od 4 . Обозначив n = 4k 1, запишем эти + 4k+2 - 1 = 2k 2k+1 и формулы в виде x = 4k 5