Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/05.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:57 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:08 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п

Уравнения Пелля
УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ

5

А.СПИВАК

мулированы, но не доказаны следующие теоремы. Теорема 2. Уравнение x 2 - 2y 2 = +1 не имеет решений в целых неотрицательных числах, кроме тех, что получаются из 'тривиального' решения (1; 0) при помощи правила x; y R x + 2 y; x + y . Теорема 3. Уравнение x 2 - 2y 2 = 7 не имеет решений в целых неотрицательных числах, кроме тех, что получаются из одного из двух 'начальных' решений ( 3; 1 ) и ( 5; 3 ) при помощи правила x; y R 3x + 4y; 2x + 3y . Теорема 5. Уравнение x 2 - 3y 2 = 1 не имеет решений в целых неотрицательных числах, кроме тех, что получаются из решения (1; 0) при помощи правила x; y R 2x + 3y; x + 2y . 2 2 Теорема 7. Уравнение x - xy - y = +1 не имеет решений в целых неотрицательных числах, кроме тех, что получаются из решения (0; 1) при помощи правила x; y R x + y; x . Можно было бы рассмотреть еще несколько примеров и сформулировать много аналогичных теорем, но пора переходить к более общим рассмотрениям.

В

ПРОШЛОМ НОМЕРЕ ЖУРНАЛА БЫЛИ СФОР-

щей. Но она, надеемся, гораздо прозрачнее. Зачем нам нужна доказанная формула? Чтобы строить из одних решений другие! Точнее говоря, формула доказывает следующую важную теорему. 2 2 Теорема 8. Если x - dy = a и z 2 - d t 2 = b , то пара чисел X; Y = xz + dyt; xt + yz удовлетворяет равенству X 2 - dY 2 = ab . И опять сформулируем и не докажем теорему о том, как устроено множество решений уравнения Пелля. Теорема 9. Если a наименьшее натуральное число, для которого существует такое натуральное число 2 2 b, что a 2 - d b 2 = 1 , то уравнение x - dy = 1 не имеет решений в целых неотрицательных числах, кроме тех, что получаются из 'тривиального' решения (1; 0) при помощи правила x; y R ax + dby; bx + ay .
Упражнения 2 2 23 21. Уравнение а) x 2 - 2y 2 = 14 ; б) x - 2y = 23 имеет бесконечно много решений в целых числах, а уравнение в) x 2 - 2 y2 - 1004 = 1001 не имеет ни одного. Докажите это. 22. Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого представим в виде суммы квадратов 11 последовательных а) целых; б) натуральных чисел. в) Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, квадрат каждого из которых представим в виде суммы квадратов 11 последовательных натуральных чисел. 23. Пусть a , b, x , y , z, t рациональные числа, x 2 + ay 2 + bz 2 + abt 2 = 0 и хотя бы одно из чисел x, y, z и t отлично от нуля. Докажите, что существуют такие рациональные числа u , v и w , что u2 + av2 + bw2 = 0 и u2 + v2 + w2 ? 0 .

x

x 2 - dy

2


2

z 2 - dt

2

Формула = xz + dyt





2

- d xt + yz



2

Следующее вычисление пожалуй, самое главное в теории уравнений Пелля:
2

- dy

2

z

- dt

2



= x 2 z 2 - dy 2 z2 - dx 2t2 + d 2 y2t 2 =

= x 2 z 2 + 2 x z d y t + d 2 y 2t 2 dy z - 2dyzxt - dx t = xz + dyt
22 22



2

- d xt + yz .

2

Теорема существования
Теорема 10. Для любого натурального числа d, не являющегося квадратом, существуют такие натуральные числа x и y, что x 2 - dy 2 = 1. Вместе взятые, теоремы 8, 9 и 10 позволяют довольно ясно представить себе структуру множества решений уравнения Пелля. В одном из ближайших номеров журнала мы изложим четыре доказательства теоремы 10. А здесь у нас хватит сил только на то, чтобы доказать теоремы 2, 3, 5, 7 и 9. Впрочем, мы это сделаем двумя способами: сначала обойдемся без помощи иррациональностей, а затем при помощи иррациональностей изложим (по сути то же самое) доказательство и даже расскажем о решениях в целых числах уравнения x 2 - dy 2 = c .
Упражнения 24. Если d натуральное число, не являющееся квадратом, c ? 0 и уравнение x 2 - dy 2 = c имеет хотя бы одно

А вот как можно получить ту же формулу, если разложить разность квадратов на (иррациональные!) множители и переставить их разумным образом:

x

2

- dy
= =

= xz + dy t +



z x + x +
2

2

- dt

y y



= d x - y d z + t d z - t d = d z + t d Ч x - y d z - t d = x t + yz d Ч xz + d yt - xt + y z d
2

=
2

= xz + dyt



2

- d xt + yz .

Честно говоря, эта выкладка даже длиннее предыдуПродолжение. Начало см. в 'Кванте' ?3.
2 Квант ? 4