Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/kv0402ol_fiz.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:57 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:34:51 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 5

ОЛИМПИАДЫ

#!

4. В клетчатом прямоугольнике m ? n каждая клетка может быть либо живой, либо мертвой. Каждую минуту все живые клетки умирают, а те мертвые, которые граничат с нечетным числом живых (по стороне), оживают. Укажите все пары (m, n), при которых жизнь в прямоугольнике может существовать вечно. (8) А.Горбачев 5. Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде 'налево' некоторые повернулись налево, некоторые направо, а остальные кругом. Всегда ли сержант может стать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом? (9) А.Шаповалов 6. Пусть а, b, c длины сторон треугольника. Докажите неравенство a 3 + b 3 + 3abc > c 3 . (9) В.Сендеров 7. Биссектрисы углов А и С треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках Е и D соответственно. Отрезок DE пересекает стороны АВ и ВС в точках F и G. Пусть I точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Докажите, что четырехугольник BFIG ромб. (9) В.Жгун 8. Найдите все пары целых чисел (х, у), удовлетворяющие уравнению x4 - 2y2 = 1 . (9) В.Сендеров 9. Остроугольный треугольник разрезали по прямой на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей опять на две части, и т.д. Через несколько шагов все части оказались треугольниками. Могут ли все они быть тупоугольными? (9) Г.Гальперин 10. Тангенсы углов треугольника натуральные числа. Чему они могут быть равны? (10, 11) А.Заславский 11. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки Е и F являются серединами сторон ВС и CD соответственно.

Отрезки АЕ, АF и EF делят четырехугольник на 4 треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD? (10) С.Шестаков 12. Все места в первом ряду кинотеатра заняты зрителями, купившими билеты в первый ряд, но при этом каждый сидит не на своем месте. Билетер может менять местами соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он сможет рассадить всех на свои места? (10, 11) А.Шаповалов 13. Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в белый и черный цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества черных точек также были подобны друг другу (возможно, с различными коэффициентами подобия)? (10) Г.Гальперин
3 14. Докажите, что на графике функции y = x можно отметить т акую точку А , а на графике функции y = x3 + x + 1 такую точку В, что расстояние АВ не превысит 1/100. (11) А.Спивак, А.Хачатурян

15. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих. Докажите, что все члены последовательности, начиная с некоторого, равны между собой. (11) А.Шаповалов 16. Пусть AA1 , BB1 , CC1 высоты остроугольного треугольника АВС; OA , OB , OC центры вписанных окружностей треугольников AB1C1 , BC1 A1 , CA1B1 соответственно; TA , TB , TC точки касания вписанной окружности треугольника АВС со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника TAOCTBOATCOB равны. (11) Л.Емельянов Публикацию подготовили А.Спивак, Б.Френкин

Избранные задачи Московской физической олимпиады
Первый теоретический тур
8 класс 1. Из Анискино (А) в Борискино (Б), расстояние между которыми 60 км, в 1200 выехал и ехал с постоянной скоростью 10 км/ч велосипедист. Из Б в А выехал и ехал с постоянной скоростью 30 км/ч автомобиль. Они встретились на одинаковом расстоянии от А и Б. На каком расстоянии друг от друга они находились в 1400 ; в 1600 ? С.Варламов 2. Ширина футбольных ворот L = 5 м. Вратарь массой m = 80 кг подпрыгнул и, зацепившись рукой, повис на перекладине на расстоянии l = 1 м от правой штанги. Как изменилась разность сил давления перекладины ворот на правую и левую штанги? С.Варламов 3. Школьник прочитал в газете 'Советы домохозяйке' следующую заметку: 'Для того чтобы рассортировать куриные яйца по степени свежести, возьмите четыре стеклянные банки, налейте в каждую пол-литра воды и растворите в первой банке 50 г соли, во второй 45 г, в третьей 30 г и в четвертой 15 г. После этого поочередно опускайте яйца в каждую банку. В первой банке будут тонуть только что снесенные яйца, во второй снесенные не более двух недель назад, в третьей снесенные не более пяти недель


#"

КВАНT 2002/?4

назад, в четвертой снесенные не более восьми недель назад'. Школьник сделал растворы, строго следуя рецепту, рассортировал имевшиеся в холодильнике яйца, а затем слил содержимое из всех четырех банок в одну большую емкость. Сколько недель назад были снесены яйца, которые тонут в получившемся растворе? А.Якута 9 класс 1. Не дождавшись автобуса, пешеход пошел пешком к следующей автобусной остановке, павильон которой был виден вдали. Через некоторое время он обнаружил, что кажущаяся высота этого павильона в k = 1,5 раза меньше кажущейся высоты павильона, от которого он отошел. Пройдя еще L = 100 м, пешеход заметил, что теперь павильон впереди кажется ему в k = 1,5 раза выше павильона позади. Найдите расстояние между остановками. Считать, что кажущийся размер предмета обратно пропорционален расстоянию до него. Остановочные павильоны одинаковы, пешеход идет по соединяющей их прямой. Д.Харабадзе 2. Для организации транспортного сообщения между населенными пунктами А и Б, расположенными на одной горизонтали на небольшом расстоянии l друг от друга, между ними прорывают тоннель, состоящий из двух одиl A Б наковых прямых участков (рис.1). По рельсам внутри тоннеля скользит h без трения безмоторная вагонетка. Какова должl/ на быть максимальная глубина тоннеля h, чтоРис. 1 бы время поездки от А до Б было минимальным? Чему равно это время? Считать, что движение вагонетки начинается без начальной скорости, а на закруглении в нижней точке тоннеля величина скорости не изменяется. В.Птушенко 3. В 'черном ящике' с тремя контактами находится схема, спаянная из идеальной батарейки и резистора. Если к контактам 1 и 2 подсоединить другой резистор с известным сопротивлением r, то через него будет течь ток I12 ? 0 . При подсоединении этого же резистора к контактам 1 и 3 через него потечет ток I13 ? 0 , причем I13 ? I12 . При подключении этого резистора к контактам 2 и 3 ток через него течь не будет. Чему могут быть равны напряжение батарейки и сопротивление резистора, находящегося в 'черном ящике'? Какие схемы могут находиться в 'черном ящике'? О.Шведов 10 класс 1. На массивный гладкий цилиндр радиусом R, двжущийся поступательно со скоростью u, налетает маленький шарик, движущийся навстречу цилиндру перпенv дикулярно его оси со скоростью v (рис.2). РасстоL яние между линией, вдоль которой движется u шарик, и плоскостью, R в которой движется ось цилиндра, равно L (L < R). Найдите велиРис. 2 чину скорости шарика v1

после абсолютно упругого удара о цилиндр. Сила тяжести отсутствует. А.Якута 2. Маленький шарик массой m и зарядом q, брошенный со скоростью v под углом = 45o к горизонту, пролетев вдоль поверхности земли расстояние L, попадает в область пространства, в которой кроме поля силы тяжести имеется еще и однородное постоянное горизонтальное электрическое поле. Граница этой области вертикальна. Через некоторое время после этого шарик падает в точку, откуда был произведен бросок. Найдите напряженность электрического поля E. Ускорение свободного падения равно g, влия- 3 нием воздуха пренеб3 речь. А.Якута 3 3. В 'черном ящике' с двумя контактами находится схема, состоящая из незаряженного кон 3 J денсатора и резистора. Рис. 3 К контактам в момент времени t = 0 подсоединили конденсатор емкостью C, имеющий заряд Q0 . График зависимости заряда на этом конденсаторе от времени изображен на рисунке 3. Найдите сопротивление резистора и емкость конденсатора, находящихся в 'черном ящике'. О.Шведов 11 класс 1. Телу массой m, находящемуся на горизонтальной поверхности, сообщили скорость v0 в направлении оси X. График зависимости ско- v рости тела v от его коордиv наты x изображен на рисунке 4. Найдите зависимость величины силы трения, действующей на тело, от координаты х. О.Шведов lx 2. Два закрытых сосуда Рис. 4 емкостью V1 = 10 л и V2 = 20 л имеют жесткие стенки и поддерживаются при одинаковой постоянной температуре 0 њC. Сосуды соединены короткой трубкой с краном. Вначале кран закрыт. В первом сосуде находится воздух под давлением p1 = 2 атм при относительной влажности 1 = 20%. Во втором сосуде находится воздух под давлением p2 = 1 атм при относительной влажности 2 = 40%. Кран постепенно открывают так, что процесс выравнивания давлений в сосудах можно считать изотермическим. Найдите минимальную и максимальную относительную влажность воздуха в сосуде емкостью 10 литров. С.Варламов 3. Заряженная частица двигалась в некоторой области пространства, где имеются взаимно перпендикулярные одH нородные поля: электрическое с напряженностью E , магH H нитное с индукцией B и поле силы тяжести g . Вектор скорости частицы при этом был постоянным и перпендикулярным магнитному полю. После того как частица покинула эту область пространства и начала движение в другой области, где имеется только поле силы тяжести, ее скорость начала уменьшаться. Через какое время после вылета части-


ОЛИМПИАДЫ

##

цы из первой области ее скорость достигнет минимального значения? А.Якута

Второй теоретический тур
8 класс 1. По шоссе равномерно движется длинная колонна автомобилей. Расстояния между соседними автомобилями в колонне одинаковы. Едущий по шоссе в том же направлении инспектор ГИБДД обнаружил, что если его скорость равна v1 = 36 км/ч, то через каждые 1 = 10 с его обгоняет автомобиль из колонны, а при скорости v2 = 90 км/ч через каждые 2 = 20 с он обгоняет автомобиль из колонны. Через какой промежуток времени будут проезжать автомобили колонны мимо инспектора, если он остановится? О.Шведов 2. Хулиган-двоечник прогуливался вблизи стройки и увидел страшную картину (рис.5). Молодец-отличник стоял на краю горизонтальной доски длиной L = 6 м, которая опиралась другим концом на край балкона второго этажа. Отличник держался за веревку, пропущенную через два блока, оси Балкон s которых крепились на стене дома. Другой коl нец веревки был привяL зан к доске на расстояРис. 5 нии l = 4 м от балкона. Двоечник бросился на помощь отличнику, но, не дойдя до него, услышал: 'Ни шагу дальше, мы оба упадем!' При каком расстоянии s от края балкона до двоечника должен был это сказать молодец-отличник, чтобы катастрофы не случилось? Масса доски mд = 8 кг, масса хулигана-двоечника mx = 50 кг, масса молодца-отличника mo = 40 кг. Ю.Старокуров
3 3. Сухие дрова плотностью 1 = 600 кг м , привезенные со склада, свалили под открытым небом и ничем не укрыли. 3 Дрова промокли, и их плотность стала 2 = 700 кг м . Для того чтобы в холодную, но не морозную погоду (при температуре t = 0 њС) протопить дом до комнатной температуры, нужно сжечь в печи M1 = 20 кг сухих дров. Оцените, сколько нужно сжечь мокрых дров, чтобы протопить дом до той же комнатной температуры. Удельная теплота парообразования воды r = 2, 3 Ч 106 Дж/кг, удельная теплоемкость

2. Холодильник поддерживает в морозильной камере постоянную температуру t0 = 12 њC. Кастрюля с водой охлаждается в этой камере от температуры t1 = +29 њC до t2 = +25 њC за 1 = 6 мин, а от t3 = +2 њC до t4 = 0 њC за 2 = 9 мин. За сколько времени вода в кастрюле замерзнет (при 0 њC)? Теплоемкостью кастрюли пренебречь. Удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж кг Ч o С , удельная теплота плавления льда = 336 кДж/кг. М.Семенов 10 класс 1. Маленькая шайба скользит по винтовому желобу с углом наклона к горизонту и радиусом R с постоянной скоростью v (рис.6). Ось желоба вертикальна, ускорение свободного падения равно g. Чему равен коэффициент трения между шайбой и желобом? М.Семенов 2. В горизонтальном прямом желобе на равных расстояниL ях L = 1 м друг от друга лежат N = 2002 маленьких шарика. Известно, что шарики разложены в порядке убывания их масс и что массы соседних шариков отличаются друг от друга на = 1%. Самому тяжелому шарику в момент времени t = 0 сообщили скорость v = 1 м/с в направле- Рис. 6 нии остальных шариков. Считая все удары абсолютно упругими, найдите, через какое время после этого начнет двигаться самый легкий шарик. Трения нет. Временем соударения пренебречь. А.Якута 11 класс 1. На горизонтальной плоскости лежит полусфера радиусом R (выпуклой стороной вверх). Из точки, находящейся над центром полусферы, бросают горизонтально маленькое тело, которое падает на плоскость, не касаясь полусферы. Найдите минимально возможную скорость тела в момент его падения на плоскость. А.Зильберман 2. На расстоянии d = 20 см от тонкой собирающей линзы вдоль ее главной оптической оси расположена тонкая короткая палочка. Длина ее действительного изображения, даваемого линзой, в k = 9 раз больше длины палочки. Во сколько раз изменится длина изображения, если сдвинуть палочку параллельно оси на Dd = 5 см дальше от линзы? Замечание: при x = 1 справедлива формула 1 1 + x ' 1 - x . М.Семенов Публикацию подготовили М.Семенов, А.Якута

воды c = 4200 Дж кг Ч oС , удельная теплота сгорания сухих дров q = 107 Дж/кг. С.Варламов 9 класс 1. На гладкой горизонтальной поверхности расположены две одинаковые маленькие шайбы. В начальный момент времени первой шайбе сообщили некоторую скорость вдоль линии, соединяющей центры шайб. Оказалось, что за время t первая шайба прошла путь s1 , а вторая путь s2 . Чему могут быть равны начальная скорость первой шайбы и начальное расстояние между шайбами? Трение отсутствует, удар шайб друг о друга не обязательно абсолютно упругий. О.Шведов