Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/03/43.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:24 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:27 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п

ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

рых изменение исследуемой величины пропорционально ее текущему значению, например для распада радиоактивных атомов, размножения микробов или роста народонаселения Земли по Мальтусу. Его решение имеет вид ln v
0

терное время

t ; r

Следовательно, a =

v

;

r m

2

п

b

y-0 =

g

y l

,

(2)

. 16 r t Приравняем это ускорение к предельному значению скатывающего ускорения g cos & . Отсюда найдем ; v ; rg cos & . Теперь, подставляя эту конечную скорость в выражение (2), для глубины проникновения получим выражение y&; m 2 r
2 п 2

v

F1 F GH 2 GH


v+

3v 2

5v

IJ I K JK
2

43
= 10 м, получим y&; 0,3 м . Учитывая множество принятых предположений, осторожный физик сказал бы, что это величина порядка дециметра. Качественный вид изменения скорости с глубиной приведен на рисунке 4,а сплошная кривая. Показана 'ступенька' при y& , характерная для сыпучих сред. А штриховая кривая изображает случай деревянного шарика того же радиуса, упавшего в воду с той же начальной скоростью v0 . Его торможение будет происходить быстрее (так как из выражения (1) следует, что dv dt ;
воды -2

.

где v0 начальное значение скорости m шарика (при у = 0), l = харак2 r п терная длина. Так, для стального шарика радиусом r = 1 см и массой m = 4 ст r
3

3 30 г

(где



ст

=

ln

v 2

2 0

rg cos &
ст п

2h r cos &

= 7,8 г см плотность стали) эта длина имеет порядок l 3 10 кг 10
-4 -2

3

=

10

3 3



3

r ln

. (3)

дерева

05 10 ,

=2>



п



1 5

ст

),

, м 16 10

2

3

кг м

3

6,5 см

(среднеобъемная плотность песков лежит в диапазоне 1,51,7 г см ; мы , приняли п = 16 г см ). Это уже определенный намек на глубину проникновения: на этом характерном расстоянии скорость убывает в е = 2,7 раза. Но при этом, согласно полученной формуле, шарик нигде не остановится просто он будет двигаться по мере углубления все медленнее и медленнее. (Конечно, это лишь оценка l по порядку величины: ведь в выражение для силы сопротивления нужно было бы внести еще безразмерный множитель, который называется коэффициентом сопротивления шарика при его движении в песке. Но кто его знает?) Однако вспомним, что, с другой стороны, песок не совсем жидкость, и этот факт как-то связан с наличием предельного угла & . Можно ожидать, что по достижении некоторого значения скорости v& шарик резко затормозится: в этот момент силы сцепления между песчинками начнут играть преобладающую роль по сравнению ... С чем? Возможно, ответ заключается в сравнении характерной величины касательной составляющей ускорения a песчинок на экваторе шарика с величиной ускорения, 'скатывающего' песчинки с поверхности песчаной горки. Сделаем оценки. Скорость песка на экваторе возрастает на v по сравнению с ее значением v = 2 в 'невозмущенном потоке'. Тогда 'среднее' приращение скорости будет 1v порядка v = . И происходит 22 это на 'характерном перемещении' порядка радиуса шарика r за харак3 3

Видно, что y& растет с увеличением предельного угла & . Это понятно: ведь чем больше & , тем более среда 'сыпучая', а в пределе & 2 она переходит в жидкость, и тогда стальной шарик может сколько угодно тонуть, например в воде. Но не в ртути ибо в этом случае нужно учесть и силу Архимеда, которую мы пока что не принимали во внимание (аналогичная ситуация возникнет, если в воду бросить деревянный шарик). Как уже было сказано, если песок потрясти, то его конус будет расплываться, песок все более будет похож на жидкость. В результате в 'потрясенном' песке глубина проникновения упавшего шарика должна быть больше. А деревянный шарик или шарик для пинг-понга в сотрясаемом песке будут 'всплывать' это можно проверить в порядке лабораторной работы. Далее, в выражении (3) мы приняли, что скорость падения шарика с высоты h равна v0 = 2 gh , т.е. пренебрегли сопротивлением воздуха это для того, чтобы поскорее ответить на вопрос, поставленный в самом начале. Конечно, этот результат можно уточнить, учитывая силу сопротивления воздуха. Очевидно, что при этом 2 v0 < 2 gh . Но полученная формула (3) содержит логарифмическую зависимость от начальной скорости; это настолько слабая зависимость, что физики в шутку называют эту функцию константой. Поэтому такое уточнение несущественно. Интересно отметить также, что выражение (3) не содержит зависимости от ускорения тяготения. Значит, на Луне глубина проникновения будет та же, что и на Земле: был бы песок одинаков. Итак, полагая в выражении (3) h = o = 100 м, cos & = cos 60 = 1 2 , r =

а при y A движение на мгновение прекратится, и шарик начнет всплывать

a) v v0

v* 0 `L б) t

y)

y*

y

0
. 4

y)

y*

y

(скорость изменит знак). Если глубина его проникновения достаточно велика, то на обратном пути вверх будет достигнута постоянная скорость всплывания v , при которой сравняются силы сопротивления, тяжести и Архимеда. На рисунке 4,б показан соответствующий вид зависимостей глубины от времени. Артиллеристы издавна живо интересовались глубиной проникновения в различные среды снарядов разной массы, формы, начальной скорости (в момент удара). В результате они получали эмпирические зависимости, осредненные по различным ситуациям. Эти формулы дают например, для интересующего нас песка меньшие значения глубины проникновения, чем полученные нами. И понятно, почему. Ведь мы не учли очень многое. А именно: дополнительные потери энер-