Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/03/37.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:23 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:25 2012 Кодировка: Windows-1251

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

37
относительно берега. Какова при этом скорость лодки относительно воды, если скорость течения 2,1 м/с? (Ответ: 6 м/с.)

боковой ветер со скоростью 20 м/с перпендикулярно линии полета? Скорость самолета относительно воздуха 328 км/ч. (Ответ: на 9 мин.) 2. При переправе через речку шири-

ной 80 м надо попасть в точку, лежащую на 60 м выше по течению, чем точка старта. Лодочник управляет моторной лодкой так, что она движется точно к цели со скоростью 4,5 м/с

Печаль или радость
К.БЛИОХ
Если можно о чем скорбеть, Значит, можно чему улыбаться. С.Есенин

Ч

СВОЙСТВЕННО ЧЕЛОВЕКУ: грустить или радоваться, скорбеть или улыбаться, быть оптимистом или пессимистом? Этот философский вопрос на протяжении многих веков обсуждали лучшие умы человечества и, естественно, давали разные ответы. И, как всегда в таких 'глубоких' вопросах, каждый был по-своему прав. Я не знаю, на какую чашу весов выпало большее число ответов, но мне почему-то кажется, что на чашу радости. Попробуем ответишь на поставленный вопрос, опираясь только на элементарную физическую основу явлений, на известные нам экспериментальные данные и на... музыку. Воспользуемся тем, что практически все люди, слушая музыку, испытывают похожие (конечно, в грубом приближении) эмоциональные переживания. В основе этого лежит музыкальный мажоро-минорный дуализм. Согласно классической теории музыки, музыкальные лады делятся на мажорные и минорные. При этом мажорные лады воспринимаются человеком как носители бодрой, радостной, светлой окраски, а минорные унылой, печальной, сумрачной. Чем же отличаются мажорные и минорные лады с физической точки зрения? Ноты. Музыкальные звуки записываются, в большинстве своем, нотами. Нота определяет высоту звучания данного звука, т.е. физически основную частоту колебаний в его спектре. Шкала нот соответствует логарифму частотной шкалы. Музыкальный интервал между нотами, частота которых отличается в 2 раза, всегда равен октаве. Чтобы получить все ноты в пределах одной октавы, нужно октаву разТО

делить на 12 равных музыкальных интервалов полутонов. Итак, если исходная нота (положим, до) имеет основную частоту 0 , то основные частоты остальных нот определяются по формуле

log 2 n = log 2 0 + +n
или
n = 0 2
n 12

log 2 2 0 - log 2 12

0

= log 2 0 +

n 12

,

,

где n целое число. При n = 0 формула определяет основную частоту исходной ноты, при n = 1 ноты на полтона выше, при n = 1 ноты на полтона ниже и т.д. При n = +12 мы получаем основные частоты нот на октаву выше и ниже исходной. Музыкальная шкала звуков имеет циклическую структуру. Ноты, отличающиеся на октаву друг от друга, в определенном смысле тождественны друг другу. А именно, добавление к данному созвучию (аккорду) ноты, звучащей на октаву выше уже имеющейся в нем ноты, не изменяет его эмоциональную окраску, а затрагивает только тембральную сторону его звучания. (Это связано с тем, что в спектре каждого звука присутствует, кроме основной его частоты, частота звука на октаву выше и все его обертоны см. Дополнение). Поэтому ноты получили собственные названия только в пределах одной октавы, дальше они циклически повторяются с добавлением только номера октавы, в которой они расположены. В таблице 1 приведены названия нот, соответствующие им числа n,

величина и название музыкальных интервалов, которые они составляют с исходной нотой. Пунктирные линии разделяют ноты разных октав. Знаки 'плюс' и 'минус' перед названием и величиной интервала означают, что интервал откладывается, соответственно, вверх и вниз от начальной ноты. При сложении интервалов конечная нота первого интервала является начальной для второго. Мажор и минор. Теперь мы можем определить понятия мажорного и минорного ладов. Мажорным (минорным) ладом называется лад, опорные звуки которого образуют мажорное (минорное) трезвучие. Мажорное (минорное) трезвучие состоит из трех звуков: первого основного, второго на большую (малую) терцию выше основного, третьего на квинту выше основного. Таким образом, разница между мажором и минором заключается в положении среднего звука (терции) соответствующего трезвучия. Согласно таблице 1, до-мажорное и до-минорное трезвучия составляют ноты до ми соль (n = 0, 4, 7) и до ми-бемоль соль (n = 0, 3, 7). Поистине удивительно, что минимальное отличие в положении одной ноты определяет две основополагающие противоположности: мажор и минор, радость и печаль в нашем настроении! Любопытно, что мажорное и минорное трезвучия являются обратными друг другу не только в эмоциональном, но и в математическом смысле. Действительно, мажорное трезвучие состоит из последовательно отложенных большой, а затем малой терции (4 + 3; рис.1,а). Минорное трезвучие состоит из этих же интервалов, но в обратном порядке: малая терция, затем большая (3 + 4; рис.1,б). Если мы зеркально отразим ноты трезвучия относительно произвольной точки нотной шкалы, то интервалы будут следовать в обратном порядке: мажорное трезвучие переходит в минорное и наоборот. А вспомнив, что нотная шкала соответствует логариф-