Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/03/07.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:21 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:56 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: р с р р р п п п п п п п п п п п п п п

?
.
ник скажет, что сумма внутренних углов плоского nугольника равна n - 2 , а сумма его внешних углов равна 2 . Однако приводимые в учебниках доказательства относятся, как правило, только к выпуклым многоугольникам. Мы же хотим найти сумму углов любого многоугольника, скажем такого невыпуклого многоугольника, как на рисунке 1, или даже

7



АЖДЫЙ СТАРШЕКЛАСС-

b

g

.1

такого, как на рисунке 2, т.е. имеющего самопересечения. Ясно, что
M6

M2

M3 = M7

M4
.
.2

M1 M5

рассмотрение общего случая нужно начинать с точных определений.


Пусть на плоскости П дана единичная окружность Г с отмеченными
2*

на ней n точками, n 3 . Перенумеруем их по порядку, следуя обходу окружности против часовой стрел ки, и обозначим их как M1 ,K, M . n Сопоставим теперь каждой точке Mi , 1 i n , по некоторому правилу f точку Mi = f M , i которую назовем образом точки M i при отображении f, c единственным требованием, что двум соседним точ кам M и M+1 (считаем M+1 = M1 ) i i n соответствуют две разные точки M i Mi +1 , а в общем точки M и i M , j i + 1, могут иметь совпадаюj щие образы. Соединим теперь точки M i и M i +1 последовательно отрезками прямых; полученную ломаную Р назовем n-угольником с вершинами в точках M1, K, M n . Очевидно, правило f сопоставления M Mi , 1 i n , можно проi должить на всю окружность так, что получится непрерывное отображение F : , совпадающее с f в точках M и переводящее дуги i MM+1 в отрезки M i M i +1 , i i и таким образом многоугольник Р можно трактовать как образ окружности Г при непрерывном отображении F : , с требованием пере хода данных дуг Mi Mi+1 в данные отрезки M i M i+1 , 1 i n . Построим в явном виде одно из таких возможных отображений F. Для этого введем на плоскости П декартову систему координат Оху с началом в центре окружности Г и с положительным направлением оси Ох, идущим от центра к точке M1 . Тогда каждая точка M на окружно сти получит координаты x = cos , y = sin , где значения угла зависят от выбора направления обхода окружности. Для определенности всегда будем считать, что выбрано положительное направление обхода, так что 0 2 . Пусть точка Mi образ точки M с координатаi ми x = cos i , y = sin i имеет i i координаты xi , yi . Тогда отобра-

жение F на дуге MM i задать уравнениями

i +1

можно

x = xi + xi

ej

где произвольная непрерывная и монотонно возрастающая функция на i , i +1 , с условием
i = 0 , i +1 = 1 , а текущие значения определяются из координат точек M дуги MMi +1 , изменяюi щихся от M i до M i +1 . Например, простейшей такой функцией являет - i ся функция = . i +1 - i

bg

y = yi +

b gc bgc

+1

- xi , - yi ,

y

i +1

h h

(1)

ch

ch bg

Упражнения 1. Проверьте, что при изменении от i до i +1 точки М с координатами x, y из (1) действительно заполняют отрезок M i M i +1 , начиная с M i и заканчивая M i +1 (рис.3).

bg

y ME*+1


ME+ F M* E M* 1 ME x

1

E O



+1

E

.3

вильного n-угольника Q, вписанного в Г, то можно так подобрать новое отображение G : с G N i = M i , 1 i n , чтобы в образе получился прежний многоугольник Р. 3. Покажите, что можно найти отображение H : Q , с H N i = M i , линейное на каждой стороне N i N i +1 многоугольника Q и переводящее ее в соответствующую сторону M i M i +1 многоугольника Р.

M i взять вершины N1 ,K, N праn

2. Покажите, что если вместо точек


di

di

c

h

Теперь нам нужно определить, сумму каких углов многоугольника мы намерены искать. Для этого мы