Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/02/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:19 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:21 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 106

ВАРИАНТЫ

45
6. Решите уравнение

Санкт-Петербургский государственный университет
МАТЕМАТИКА Письменный экзамен Вариант 1 (факультеты математикомеханический, прикладной математики процессов управления; дневное отделение) 1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

5. В четырехугольнике ABCD углы при вершинах А и С прямые. Биссектриса угла В пересекает сторону CD в точке М, а биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке N. Известно, что ВМ = 10, AN = 6 и BN = 2. Найдите СМ и DМ. Вариант 3 (биолого-почвенный факультет; вечернее отделение) 1. Найдите все значения параметра а, при которых система

x 2 = 8x . 7. Решите уравнение
log
x

-x

8. Вычислите arcsin sin 6 . 9. Найдите x + 1 x , если

e

x - 2x + 2 = 0 .

3

2

b

j

g

e

x + 1 x + x + 1 = 2x . x + 1 cos x = 2 x cos x .

2

je

2

j

2

10. Решите уравнение 11. Найдите меньший корень уравнения
lg x + lg
2

9-x =a+

2

x - ax

2

имеет два решения. 2. Решите уравнение

tg

6

- x = tg 3 x .

3. Решите неравенство

имеет решение. 2. Решите уравнение 3 x+4 =. 2- x+2 2

R xb | S |x T

x + y = a, +y =2
2

g

2

e

10 x = 2,5 .
4

j

12. Решите неравенство

e

x - 1 x - 1 0.

3

je

j

13. Решите неравенство

log2 x - 5 x - log2 2 x - 3 x
log
2

d

2

i

d

2

i

3. Решите неравенство

b

x + 4 log 2 4 - x 0 .
2

g

b

g

4. Точка О является общим центром двух окружностей. Вершины треугольника АВС лежат на внешней окружности. Две его стороны касаются внутренней окружности, а третья сторона пересекает ее в точках М и N. Найдите отношение радиусов этих окружностей, если известно, что MON = . 5. Две треугольные пирамиды NABC и MABC имеют общее основание АВС и не имеют других общих точек. Все вершины обеих пирамид лежат на одной и той же сфере. Найдите длины ребер МА и МВ, если известно, что они равны между собой и что длины всех остальных ребер обеих пирамид равны единице. Вариант 2 (экономический факультет; дневное отделение) 1. Найдите число x < 20, если известно, что оно является седьмым членом некоторой бесконечной арифметической прогрессии, сумма первых семнадцати членов которой равна 51, а число 6 х также является членом этой прогрессии. 2. Решите уравнение
x- 3 = cos 2 x .

b

x+3 .

g

log

1+ sin 2 x

e

x + 4 - 2x

2

j

14. Найдите общие корни уравнений
0. sin x = 2 x и cos x = 4 x - 1.

4. В прямоугольник ABCD площади S помещена окружность, касающаяся сторон АВ, ВС и AD. Найдите радиус этой окружности, если известно, что ее хорда, лежащая на диагонали АС прямоугольника, равна с. 5. Постройте график функции

15. Решите систему уравнений 2 x + y = 5,

fx=

bg

x - 2x x

2

+ x.

Публикацию подготовили О.Иванов, А.Орлов, Ю.Чурин

Санкт-Петербургский государственный технический университет
МАТЕМАТИКА Вариант 1 (физико-технический факультет) 1. Сумма ненулевого числа А и 20% от числа В составляет 50% от В. Найдите отношение A/B. 2. Решите уравнение
2
2x

16. Первый член геометрической прогрессии равен b1 = 1 . Найдите все целые отрицательные знаменатели q прогрессии, для которых сумма третьего и четвертого ее членов b3 + b4 не меньше 2q. 17. Найдите координаты центров окружностей, касающихся трех прямых линий у = х, у = х + 2 и у = х. 18. В равнобедренном треугольнике длина основания а = 4, а длина медианы, опущенной на боковую сторону, m = 5. Найдите площадь треугольника. 19. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом а = 3 и противолежащим углом = arctg 3 4 . Найдите объем пирамиды, если все боковые ребра имеют одинаковую длину l = 5. 20. При каких значениях параметра 2 а уравнение x - ax = 2a имеет два различных целочисленных решения?

R | S | T

x y - y = 1.

bg

3

4x

= 18

x -1

.

3. Вычислите

b1

+ 2 sin 240њ 1 - 2 cos 240њ .

gb

g

Публикацию подготовили Е.Подсыпанин, С.Преображенский

3. Решите неравенство
log 2 10 x - 8 log x 2 x - log 2 x

b

ge

2

j

Установите, что это число целое. 4. Вычислите
0. log 3 5 log 5 4 - log 3 12 .

4. Решите уравнение
2x + 3 + 3x = 3 x + 1 .

5. Решите уравнение

5- x-4 =4 x-4 .

b

g