Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/02/33.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:18 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:23 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п

Если x может быть представлено конечной десятичной дробью, g x = 0. Для остальных чисел значение g x будет зависеть от того, является ли последовательность a1 , a 3 , a 5 , K периодической. А именно, g x = 0, если число 0, a1a 3 a 5 K gx = иррационально, и = 0, a2 n a 2 n + 2 a 2 n + 4 ..., если последовательность a1 , a 3 , a 5 , K периодическая, причем периодическое повторение начинается с цифры a2 n -1 . Построенная функция действительно принимает на каждом интервале I 0; 1 любое значение y = 0, b1b2b3 K Чтобы доказать это, выберем цифры так, чтобы числа a1 , a2 , K, a 2 n - 2 0, a1a 2 K a2 n - 2 0 и 0, a1a 2 K a2 n - 2 1 принадлежали интервалу I, причем цифра a2 n - 3 была отлична от 0 и 1. Далее, пусть a2 n -1 = a2 n +1 = K = a 4 n - 5 = 0 и a 4 n - 3 = 1 .

bg bg

bg

bg

интересный пример: производная в точке 0 положительна, а функция не монотонна ни в какой окрестности нуля, поскольку производная в любой окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения! _____________ Функция, заданная формулой 2 x sin 1 x 2 при x 0 и равная 0 при x = 0, обладает тем интересным свойством, что ее производная, равная 0

и равна +hn при m n. Следовательно, отношение
w a + hn - w a hn

c

h bg

является целым числом, которое четно при нечетном n и нечетно при четном n. Значит, предел
w (a + hn ) - w (a hn

ej

Будем периодически повторять эти n цифр, располагая их на местах с нечетными номерами. Итак, мы определили последовательность a1 , a 3 , a 5 , K , период которой начинается именно с a2 n -1 . Осталось заметить, что по определению
g (0, a1a2a3...a
2n -1 2 2n + 3 3 2n + 5

1 при x = 0 и равная 2x sin 2 x 2 1 cos 2 при x 0 , неограничена x x ни на какой окрестности нуля. ______________

lim
n +

)

не существует, т.е. функция w не дифференцируема.
Функция Ван-дер-Вардена обладает еще одним интересным свойством. Пусть n x = k 4 , где k целое число. Обозначим h = 1 42 и
n +1

Последний и самый интересный пример всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция. Такую функцию построил Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (18151897):
fx=

w x = f 0 x + f1 x + K + f

bg

. Тогда

bg bg bx + hg bx + hg

n -1

bxg g

ba

ba

...

)

= 0, b1b2b3 K = y . _____________ Рассмотрим функцию
hx =

bg
n =0

+

b cos a x ,

n

e

n

j

w x + h - w x = f0 x + h - f0 x +
+

b

df b

g bg d b g
g b gi
n +1 2n

Ее производная, равная

| bg R S | T

x2 sin 1 x , если x 0, 0, если x = 0. если x 0,

bg

разрывна в точке x = 0. ______________ Функция
k

R2x sinb1 xg - cosb1 xg, | S0, если x = 0, | T Rx F 2 + sin 1 I, J xK b xg = | GH S |0, если x = 0, | T
4

если x 0,

имеет абсолютный минимум в точке x = 0. А ее производная в любой окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения. (Заметьте: функция k не монотонна ни в какой окрестности нуля!) ______________
x + 2x sin 1 x при x 0 и равная 0

где a целое нечетное число, а число 3 b таково, что 0 < b < 1 и ab > 1 + . 2 (В 1916 году Годфри Харолд Харди (18771947) доказал, что достаточно потребовать 0 < b < 1 и ab > 1.) В 1930 году Бартел Лендерт Вандер-Варден придумал более простой пример такой функции. Обозначим через x расстояние от числа x до ближайшего целого числа. Другими 1 1 словами, при - x пусть 2 2 x = x , а дальше продолжим эту функцию периодически (с периодом 1). Для любого целого неотрицательного числа n обозначим n n fn x = 4 x 4 и рассмотрим сумму

+ fn x + h + f

b

1

x + h - f1 x

+K + f

db
n -1

g

b gi

x+h -f x +

+f

n +2

b

g b gi

x + h +K

K+ f

- nh + n + 1 h > 0 .

b

g

Аналогично,

w x - h - w x - hn + n + 1 h > 0 .

b

Итак,

ку точки вида x = k 4 всюду плотны, то не существует интервала, на котором функция w монотонна.

g bg bg wbx - h g > wb xg < wbx + h g .
n

Посколь-

Ф.Спиров

bg

wx =

Функция, заданная формулой
2

при x = 0, имеет в точке x = 0 производную 1, а при x 0 произ1 1 водная равна 1 + 4 x sin - 2 cos . x x Ничего особенного? Да нет же, это

bg

как сумФункция ма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Пусть a произвольное вещественное число. Для любого натурального числа n выберем hn = 1 4 n +1 или n +1 так, что fn a + hn - hn = -1 4 - fn a = hn . Тогда разность fm a + hn - fm a равна 0 при m > n

b g f b xg . wb x g непрерывна
n n= 0

+

c

bg

c

h

h

bg