Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/02/17.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:17 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:01 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: stars

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

17

Замечание. В статье А.Баабабова 'Пентиум' хорошо, а ум лучше' ('Квант' ?4 за 1999 год) доказаны явные формулы:

an =

в) Обозначим n-е слово рассматриваемой последовательности через wn (т.е. w1 = А, w2 = АБ, w3 = АБАА и т.д.). Пусть h обозначает одновременную замену всех букв А на АБ, а всех букв Б на АА. Докажем по индукции равенство (& ) wn + 2 = wn +1wnwn . (Например,
w5 = АБАААБАБАБАААБАА

LM MN

1+ 5 2

n и bn =

OP PQ

LM MN

3+ 5 2

n.

OP PQ

б) Четырьмя бумажными равносторонними треугольниками, у каждого из которых длина стороны равна 1, целиком оклеили поверхность правильного тетраэдра с ребром 1. Обязательно ли найдется бумажный треугольник, который целиком оклеил какую-либо грань тетраэдра? а) Обратим внимание на какую-либо, все равно какую, вершину куба. Так как сумма углов при ней равна 270њ, найдется бумажный квадрат (хотя бы один), вершина которого совпала с этой вершиной куба. Одним словом, у куба восемь вершин, и значит, не меньше восьми вершин у шести оклеивающих его бумажных квадратов совпадают с вершинами куба. Откуда следует, что найдется бумажный квадрат, у которого по крайней мере две вершины совпадают с вершинами куба. Но тогда ясно, что все четыре вершины этого бумажного квадрата совпадают с четырьмя вершинами какой-либо грани куба, т.е. эта грань целиком оклеена бумажным квадратом. Можно дополнительно сообразить, что противоположная ей грань тоже непременно целиком оклеена каким-либо бумажным квад* , * ратом. б) Вовсе необязательно. На рисунке показана развертка правильного тетраэдра ) ) + ABCD и такая его оклейка, что никакой из четырех бумажных треугольников не оклеивает целиком какую-либо грань этого тетраэдра. В.Произволов

это w4 = АБАААБАБ, к которому дважды приписано слово w3 = АБАА.) База индукции. Слово АБАА это АБ, к которому приписаны две буквы А. Индукционный переход. Если для некоторого n верно равенство (& ), то
wn
+3

= h wn

c

+2

h = hc

wn +1wnw

= h wn

что и требовалось доказать. Итак, каждое слово wn является началом следующего за ним слова wn +1 , так что существует бесконечное слово, началами которого являются все слова wn . А теперь заметьте: n-я буква Б получается преобразованием h из n-й буквы А. Поскольку h превращает каждую букву в две, то номер места, на котором в бесконечном слове АБАААБАБАБАААБАААБАААБАБАБАААБАБ стоит n-я буква Б, в два раза больше номера места, на котором стоит n-я буква А. Замечание. Если начать с одной буквы А и производить одновременные замены A = A k БА l и Б = А m , где k, m натуральные числа, l неотрицательное целое число, то по индукции легко доказать соотношение
wn
+2 k m = wn +1wn w l n +1

c hhcw hhcw h
+1 n n

n

h

=

= wn+ 2wn+1wn+1 ,

,

так что и в этом случае возникает бесконечное слово. Его n-я буква Б тоже получается из n-й буквы А. Поскольку среди первых an букв имеется n букв А и an n букв Б и поскольку при рассматриваемой замене каждая буква А переходит в k + 1 + l букв, а Б в m букв, то первые an букв переходят в k + 1 + l n + m an - n букв. Для нахождения bn осталось заметить, что в слове Ak БАl буква Б расположена не на последнем, а на l + 1 -м месте от конца. Поэтому

b

g

c

h bg

Ф1758. Кот Леопольд стоял у края крыши сарая. Два злобных мышонка выстрелили в него из рогатки. Однако камень, описав дугу, через t1 = 1,2 с упруго отразился от наклонного ската крыши сарая у саJ J мых лап кота и через t2 = 1,0 с попал в лапу стрелявшего I мышонка (рис.1). На каком расстоянии s от мышей находился кот Леопольд? Рис.1
Пусть u0 началь ная скорость камня, u1 скорость отскока камня от крыши и u2 скорость, с которой камень попал в лапу мышонка. Направим ось Х параллельно скату крыши, а ось Y перпендикулярно ей (рис.2). На движении камня по оси Х удар о крышу никак не сказывается; следовательно, оно равноускоX ренное и при этом u t t u0 x = u2 x .Уравнению g
s x = u0 x t + gx t 2
2

bn = k + 1 + l n + m an - n - l .

b

g

c

h

Неожиданно, не правда ли? Есть ли еще замены, приводящие к интересным аналогичным законам, мы не знаем. Возможно, читатели помогут найти ответ на этот вопрос. Е.Барский, А.Баабабов, Л.Коганов

u



М1750. а) Взяли шесть бумажных квадратов, у каждого из которых длина стороны равна 1, и ими целиком оклеили поверхность куба с ребром 1. Докажите, что найдется бумажный квадрат, который целиком оклеил какую-либо грань куба.
5 Квант ? 2

,

Y sO
Рис.2

s

где g x проекция вектора ускорения свободного падения на ось Х,

sN O