Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/02/15.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:17 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:01 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: diurnal motion

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

15

М1744*. На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты k различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые k квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибить к столу 2k 2 гвоздями.
Докажем утверждение задачи индукцией по количеству цветов n. База: n = 2. Рассмотрим самый левый квадрат K. Если он первого цвета, то все квадраты второго цвета имеют с ним общую точку, следовательно, каждый квадрат второго цвета содержит одну из двух правых вершин квадрата K, значит, все квадраты второй системы можно прибить двумя гвоздями. Индукционный переход. Пусть мы доказали утверждение задачи для n цветов, докажем для n + 1 -го цвета. Рассмотрим все квадраты и выберем из них самый левый квадрат K. Пусть он покрашен в n + 1 -й цвет. Все квадраты, пересекающие K, содержат одну из двух его правых вершин, следовательно, их можно прибить двумя гвоздями. Уберем со стола все квадраты n + 1 -го цвета и квадраты других цветов, пересекающие K. Остались квадраты n различных цветов. Нетрудно доказать, что если выбрать n квадратов разных цветов, то среди них найдутся два пересекающихся. (В противном случае можно добавить квадрат K и получить n + 1 попарно не пересекающихся квадратов разных цветов, что противоречит условию задачи.) Таким образом, по индукционному предположению, можно выбрать один из цветов i и прибить 2k 2 гвоздями все оставшиеся на столе квадраты этого цвета. Убранные квадраты цвета i пересекают самый левый квадрат K, следовательно, эти квадраты можно прибить, забив два гвоздя в правые вершины квадрата K. В.Дольников

Каждая красная точка является серединой дуги окружности с синими концами. Докажите, что каждая синяя точка является серединой дуги окружности с красными концами. Пусть А произвольная синяя точка на окружности. Возможны два случая. В первом случае точка В, диаметрально противоположная точке А, является тоже синей. Тогда среди хорд, перпендикулярных диаметру АВ, найдется хорда CD с красными концами. Иначе получилось бы, что синих точек на окружности больше, чем красных. В таком случае дуга CAD имеет красные концы, а точка А является серединой этой дуги. Во втором случае точка В, диаметрально противоположная точке А, является красной точкой. Из условия следует, что найдется хорда с синими концами MN, перпендикулярная диаметру АВ. Но тогда, ввиду баланса синих и красных точек на окружности, найдется хорда CD с красными концами, перпендикулярная диаметру АВ. Это означает, что дуга CAD имеет красные концы, но точка А является ее серединой. В.Произволов

>

>

C

C

>

C

М1745. В некоторых клетках доски 2n Ч 2n стоят

черные и белые фишки. С доски сначала снимаются все черные фишки, которые стоят в одной вертикали с какой-то белой, а затем все белые фишки, стоящие в одной горизонтали с какой-нибудь из оставшихся черных. Докажите, что либо черных, либо белых фишек на доске осталось не более n2 .

Заметим, что в конце никакие две разноцветные фишки не стоят ни в одной строке, ни в одном столбце. Действительно, если исходно черная фишка стояла в одном столбце с белой, то ее сняли в первый раз, а если после первого снятия белая фишка стоит в одной строке с черной, то ее сняли во второй раз. Пусть в конце черные фишки стоят в а строках и b столбцах, тогда белые могут стоять не более чем в 2n а строках и 2n b столбцах. Но тогда черных фишек не более ab, а белых не более 2 n - a 2 n - b . Поскольку
2 2 4 ab 2n - a 2n - b = a 2n - a b 2n - b n n = n ,

М1747*. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках A , B , C . Через точку P пересечения прямых AA , BB , CC проведены три окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Докажите, что а) шесть точек касания образуют вписанный шестиугольник, причем центр описанной около него окружности совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник ABC; б) главные диагонали этого шестиугольника пересекаются в точке P; в) вторые точки пересечения проходящих через P окружностей лежат на прямых * AA , BB , CC .
Пусть U, V, W, X, Y, Z точки касания окружностей со сторонами треугольника АВС (см. ри+ сунок). Из условия задачи следует, что окружности PZU, PVW, PXY гомотетичны вписанной окружности треугольника АВС с центрами гомотетий А, В, С и коэффициентами AP AA , BP BB , CP CC соответственно. Отсюда сразу следует, что отрезки AB , XY, PZ, PW параллельны, что доказывает пункт б). Так как площади треугольников РАВ, РВС,
)

>

C>

C>

>

C>

C>

C

C

то либо черных, либо белых фишек осталось не более 2 n. С.Берлов

М1746. На окружности находятся n красных и n синих
4

точек, которые разделяют ее на 2n равных дуг.
*