Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/02/kv0201kaleid.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:20 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:34:42 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: rho ophiuchi

КАЛЕЙДОСКОП

'КВАНТА'

Есть такая функция!
Профессор логики упомянул во время лекции, что, насколько ему известно, ни в одном естественном языке два утверждения никогда не означают отрицания. Из задних рядов раздалось саркастическое: Ну да, конечно!.

Существует ли многочлен, все значения которого положительные числа, причем среди этих значений есть сколь угодно малые числа? Да, существует! Правда, это многочлен не от одной, а от нескольких переменных:
f x, y = x2 + xy - 1

построить соответствующий квадрат n n со стороной 1 2 . Образуется последовательность квадратов
K n K , общая точка которых образ точки t. ______________ 1 2 3 K

придуманы или прошло уже слишком много времени читайте дальше. Вот ответы на поставленные вопросы. а) Годится функция
1, если x - рац иональное, f (x ) = -1 , если x - иррациональное.

Почему? Во-первых, сумма квадратов всегда неотрицательна. Во-вторых, эта сумма не может равняться нулю, поскольку равенства x = 0 и xy = 1 несовместны. В-третьих, рассмотрев x = 1/n и y =n, где n = = 1, 2, 3, ..., убеждаемся, что вели2 2 чина x2 + xy - 1 = 1 n может быть сколь угодно малой. _____________

>C

>

C

2

.

>

C

В 1 890 году Джузеппе Пеано (18581932) поразил мир кривой, которая целиком покрывает некоторый квадрат (т.е. проходит через все точки этого квадрата, причем через некоторые по нескольку раз). Простой пример кривой Пеано построил в 1891 году Давид Гильберт (1862 1943). Первые пять шагов этой красивой конструкции показаны на рисунках. Как видите, на n-м шаге Гильберт разбивает отрезок 0; 1 на 4n равных отрезочков, которые извилисто размещаются по одному в каждом из 4n равных квадратиков. Чтобы определить образ любой данной точки t отрезка 0; 1 , нужно для каждого натурального числа n разбить отрезок 0; 1 на отрезочки длиной 1 4 n , отметить, какому из них принадлежит точка t (или каким двум если точка t попала в точности на границу), и

Существует ли: а) разрывная во всех точках функция, модуль которой непрерывная функция; б) функция, непрерывная лишь в точке x = 0 и разрывная во всех других точках; в) функция, среди значений которой на любом (сколь угодно малом) интервале есть сколь угодно большие значения; г) непостоянная периодическая функция, среди положительных периодов которой нет наименьшего; д) функция, непрерывная в иррациональных и разрывная в рациональных точках; е) не монотонное ни на каком интервале взаимно однозначное соответствие между двумя отрезками; ж) определенная на 0; 1 функция g x , множеством значений которой является отрезок 0; 1 и множество значений которой не меняется при ограничении на любой интервал? (Поскольку последнее условие довольно трудно для восприятия, поясню: для любого числа 0 y 1 множество решений уравнения g x = = y должно быть всюду плотно на отрезке 0; 1 .)

б) Такова функция xf x ,где f x функция из п.а). в) Например, функция, которая равна 0 для любого иррационального x и равна n для любого рационального числа x = = m/n, где m целое, n натуральное, НОД m, n = 1 . г) Годится функция f x из п. а). Впрочем, в большинстве учебников математического анализа рассматривают не ее, а функцию Дирихле (18051859)

>C

>C

>

C

>C

D (x ) =

1 + f (x 2

)

=

1, если x - рациональное, = 0, если x - иррациональное.

>C

>C

Наверное, сейчас читателю стоит остановиться и самому придумать соответствующие примеры: ответ на все эти вопросы утвердительный. А если все примеры

д) Например, функция Римана (1826 1866), которая равна 0 для любого иррационального x и равна 1 n для любого рационального числа x = m n , где m целое, n натуральное, НОД m, n = 1 . Можно доказать (хотя для школьника это доказательство довольно сложно и лучше его оставить до студенческих времен), что не существует функции, непрерывной во всех рациональных и разрывной во всех иррациональных точках. е) Рассмотрите функцию из п. б) на отрезке [1; 1]. ж) Такую функцию впервые построил Анри Леон Лебег (18751941). Пусть 0 x 1 и

>C

x = 0, a1 a 2 a 3 K

десятичное представление числа x.


Если x может быть представлено конечной десятичной дробью, g x = 0. Для остальных чисел значение g x будет зависеть от того, является ли последовательность a1 , a 3 , a 5 , K периодической. А именно, g x = 0, если число 0, a1a 3 a 5 K gx = иррационально, и = 0, a2 n a 2 n + 2 a 2 n + 4 ..., если последовательность a1 , a 3 , a 5 , K периодическая, причем периодическое повторение начинается с цифры a2 n -1 . Построенная функция действительно принимает на каждом интервале I 0; 1 любое значение y = 0, b1b2b3 K Чтобы доказать это, выберем цифры так, чтобы числа a1 , a2 , K, a 2 n - 2 0, a1a 2 K a2 n - 2 0 и 0, a1a 2 K a2 n - 2 1 принадлежали интервалу I, причем цифра a2 n - 3 была отлична от 0 и 1. Далее, пусть a2 n -1 = a2 n +1 = K = a 4 n - 5 = 0 и a 4 n - 3 = 1 .

bg bg

bg

bg

интересный пример: производная в точке 0 положительна, а функция не монотонна ни в какой окрестности нуля, поскольку производная в любой окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения! _____________ Функция, заданная формулой 2 x sin 1 x 2 при x 0 и равная 0 при x = 0, обладает тем интересным свойством, что ее производная, равная 0

и равна +hn при m n. Следовательно, отношение
w a + hn - w a hn

c

h bg

является целым числом, которое четно при нечетном n и нечетно при четном n. Значит, предел
w (a + hn ) - w (a hn

ej

Будем периодически повторять эти n цифр, располагая их на местах с нечетными номерами. Итак, мы определили последовательность a1 , a 3 , a 5 , K , период которой начинается именно с a2 n -1 . Осталось заметить, что по определению
g (0, a1a2a3...a
2n -1 2 2n + 3 3 2n + 5

1 при x = 0 и равная 2x sin 2 x 2 1 cos 2 при x 0 , неограничена x x ни на какой окрестности нуля. ______________

lim
n +

)

не существует, т.е. функция w не дифференцируема.
Функция Ван-дер-Вардена обладает еще одним интересным свойством. Пусть n x = k 4 , где k целое число. Обозначим h = 1 42 и
n +1

Последний и самый интересный пример всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция. Такую функцию построил Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (18151897):
fx=

w x = f 0 x + f1 x + K + f

bg

. Тогда

bg bg bx + hg bx + hg

n -1

bxg g

ba

ba

...

)

= 0, b1b2b3 K = y . _____________ Рассмотрим функцию
hx =

bg
n =0

+

b cos a x ,

n

e

n

j

w x + h - w x = f0 x + h - f0 x +
+

b

df b

g bg d b g
g b gi
n +1 2n

Ее производная, равная

| bg R S | T

x2 sin 1 x , если x 0, 0, если x = 0. если x 0,

bg

разрывна в точке x = 0. ______________ Функция
k

R2x sinb1 xg - cosb1 xg, | S0, если x = 0, | T Rx F 2 + sin 1 I, J xK b xg = | GH S |0, если x = 0, | T
4

если x 0,

имеет абсолютный минимум в точке x = 0. А ее производная в любой окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения. (Заметьте: функция k не монотонна ни в какой окрестности нуля!) ______________
x + 2x sin 1 x при x 0 и равная 0

где a целое нечетное число, а число 3 b таково, что 0 < b < 1 и ab > 1 + . 2 (В 1916 году Годфри Харолд Харди (18771947) доказал, что достаточно потребовать 0 < b < 1 и ab > 1.) В 1930 году Бартел Лендерт Вандер-Варден придумал более простой пример такой функции. Обозначим через x расстояние от числа x до ближайшего целого числа. Другими 1 1 словами, при - x пусть 2 2 x = x , а дальше продолжим эту функцию периодически (с периодом 1). Для любого целого неотрицательного числа n обозначим n n fn x = 4 x 4 и рассмотрим сумму

+ fn x + h + f

b

1

x + h - f1 x

+K + f

db
n -1

g

b gi

x+h -f x +

+f

n +2

b

g b gi

x + h +K

K+ f

- nh + n + 1 h > 0 .

b

g

Аналогично,

w x - h - w x - hn + n + 1 h > 0 .

b

Итак,

ку точки вида x = k 4 всюду плотны, то не существует интервала, на котором функция w монотонна.

g bg bg wbx - h g > wb xg < wbx + h g .
n

Посколь-

Ф.Спиров

bg

wx =

Функция, заданная формулой
2

при x = 0, имеет в точке x = 0 производную 1, а при x 0 произ1 1 водная равна 1 + 4 x sin - 2 cos . x x Ничего особенного? Да нет же, это

bg

как сумФункция ма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Пусть a произвольное вещественное число. Для любого натурального числа n выберем hn = 1 4 n +1 или n +1 так, что fn a + hn - hn = -1 4 - fn a = hn . Тогда разность fm a + hn - fm a равна 0 при m > n

b g f b xg . wb x g непрерывна
n n= 0

+

c

bg

c

h

h

bg