Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/01/53.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:14 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:41 2012 Кодировка: Windows-1251

ОТВЕ ОТВЕТЫ,

ТЫ,

УКАЗАНИЯ, Р УКАЗАНИЯ,

ЕШЕНИЯ

РЕШЕНИЯ

53

Конкурс 'Математика 68'
(см. 'Квант' ?4 за 2000 г.) 1. Из рисунка 1 видно, что ALB1 = 45њ, KLM = 45њ. Из 1 рисунка также следует, что AKL = 45њ и LMB = 45њ. (В силу симметрии задачи A точки B1 , L2 , A, L, B, L1 , A1 располагаются в L L вершинах правильного M восьмиугольника.) 2. Нельзя. Задача решается стандартным метоB B дом инварианта, а O K именно поиском ответа на вопрос: что не меняется при указанной операции? Попробовав и L то, и другое, в конечном счете можно заметить, A что сумма квадратов Рис. 1 всех чисел не изменяется. В самом деле:

торых установлены участки, di число перекрестков, соседних с перекрестком v i . Участки в сумме контролируют D = = d1 + 1 + d2 + 1 + + dn + 1 7n перекрестков, причем, возможно, в эту сумму некоторые перекрестки входят более одного раза. Так как каждый перекресток города контролируется, то 155 7n . Отсюда n 23 .

d

id

i

d

i

Сколько мест в автобусе и другие задачи
1. Из условия, что у Асика и Басика вместе на 6 морковок больше, чем у Басика и Васика, следует, что у Асика на 6 морковок больше, чем у Васика. Если бы у Васика было не менее 2 морковок, то у Асика не менее 8. Тогда бы Басику морковки не достались. Значит, у Васика была одна морковка, у Асика семь, а у Басика оставшиеся две. 2. Басик съел более 42 : 3 = 14 яблок, причем это количество кратно 3 (так как Асик съел в 3 раза меньше, чем Басик). Но если Басик съел более 15 яблок (а значит, не менее 18), то Асик съел не менее 6, а Васик не более 42 18 6 = 18, т.е. не более Басика, а это противоречит условию. Значит, Басик съел 15 яблок, откуда нетрудно определить, что Асик съел 5 яблок, а Васик 22 яблока. 3. Так как в каждой строке может стоять не более трех шашек, то всего шашек не более 3 6 = 18. Так как в каждом столбце стоит не менее двух шашек, то всего стоит не менее 2 8 = 16 шашек. Значит, на доске может быть расставлено 16, 17 или 18 шашек. Все три варианта возможны (рис.3).

F GH

3 A - 4B 5

I +F JK GH
2
2

4 A + 3B 5

I JK

2

= A +B .

2

2

Если в результате все числа (их количество равно 21) стали равны некоторому Х, то, учитывая неизменность суммы квадратов, получаем
21X = -10
2

b g + b -9g
2

+ K + -1 770

bg

2

2 2 2 + 0 + 1 + K + 10 = 770 ,

откуда

110 = 21 3 число иррациональное. В то же время ясно, что при указанных преобразованиях все числа остаются рациональными. Противоречие показывает, что добиться уравнивания всех чисел невозможно. 3. Верно. Пусть основаниями перпендикуляров, опущенных из некоторой точки О на стороны четырехугольника ABCD, являются точки M, N, K и Е (рис.2). Рассмотрим точку O1 пересечения отрезков МK и NE. Если ABCD отличен от параллелограмма, то по неравенству треугольника следует, что сумма расстояний до сторон четырехугольника от точки О больше, чем MK + C +NE. Значит, она N больше, чем сумма B расстояний до сторон O K от точки O1 . ПолучиM ли противоречие с O условием задачи. Если же четырехA D угольник ABCD E параллелограмм, то Рис. 2 сумма расстояний от любой точки внутри него до всех его сторон постоянна и равна a + b sin , где a, b длины сторон параллелограмма, а один из его углов. X=

Рис. 3

b

g

4. Если на первой остановке вышли 5 человек, то за последующие 14 остановок автобус покинули 90 пассажиров. Пусть водитель открывал обе двери k раз. Тогда на этих k остановках вышли 11k человек, а на оставшихся (14 k) остановках не менее 4 14 - k человек. Поэтому 11k + 4 14 - k 90 , откуда k 4 . С другой стороны, на оставшихся 14 k остановках вышли не более 5 14 - k пассажиров, значит, 11k + 5 14 - k 90 , откуда k 4 . Получили, что k = 4, т.е. обе двери открывали 4 раза. 5. Если бы у первого крольчонка было не менее двух наклеек, то у второго не менее 3, ..., у десятого не менее 11, т.е. всего не менее 2 + 3 + ... + 11 = 65, что невозможно. Значит, первому крольчонку досталась одна наклейка, второму две наклейки, ..., девятому 9, а десятому оставшиеся 19 наклеек. 6. Пусть мед заполняет х пятидесятилитровых бутылей. Из первого условия следует, что объем меда более 40 x + 4 лит-

b

g

b

g

b

g

b

g

4. Не может. Допустим противное: n + n + 1 = m , где m целое. Но число n + n + 1 заключено между двумя последо2 2 вательными квадратами натуральных чисел: n < n + n + 2 + 1 < n + 1 , поэтому оно не может равняться квадрату целого числа. 5. Будем говорить, что каждый участок контролирует свой перекресток и все соседние с ним перекрестки. Пусть n наименьшее число участков, которые можно разместить в городе при заданных условиях, v1 , v2 , , v n перекрестки, на ко2

2

2

ров, из второго что он более 70 x - 5 литров. Тогда имеют место неравенства
50 x > 40 x + 4 и 50 x > 70 x - 5 .

b

g

b

g

b

g

b

g

b

g

Из первого неравенства следует, что x > 16, из второго что x < 17,5, т.е. х = 17. Отсюда общий объем меда 850 литров. 7. Наибольшее натуральное число, квадрат которого записывается тремя цифрами, это 31. Значит, число Совы не более 26. Наименьшее натуральное число, куб которого имеет 5 цифр, это 22. Значит, число Совы не менее 26. Таким образом, число Совы равно 26.