Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/01/47.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:13 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:18 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п

ВАРИАНТЫ

47
стороны ВС взята точка C1 (С между В и C1 ), длина отрезка AC равна 85% 1 длины стороны АС, а длина отрезка BC1 равна 120% длины стороны ВС. Сколько процентов площади ABC составляет площадь A1 BC1 ? 5. Решите уравнение
3 3
x -1

ности, описанной около этого треугольника, равен 5 5 . На сторонах треугольника АВС как на диаметрах построены три сферы, пересекающиеся в точке О. Точка О является центром четвертой сферы, причем вершина пирамиды S является точкой касания этой сферы с некоторой плоскостью, параллельной плоскости основания АВС. Площадь части четвертой сферы, которая заключена внутри трехгранного угла, образованного лучами ОА, ОВ и ОС, равна 8 . Найдите объем пирамиды SABC. Вариант 4 (факультет вычислительной математики и кибернетики) 1. Решите неравенство

сти параллелограмма. Длины диагоналей параллелограмма равны 6 и 2 соответственно. Расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD до прямой, проходящей через точки пересечения окружностей, равно 2. Найдите расстояние между центрами окружностей. Вариант 5 (физический факультет, олимпиада 'Абитуриент-2000', март) 1. Решите уравнение

- 2 + 9 2 - 3 = 3.

x

sin 5x + sin 2 x = sin 7 x .
2. Решите уравнение
3
x -1

6. В ABC точка О центр описанной окружности, АВ = а, AC = b. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD. 7. При каких значениях а неравенство

- 10 3
2

- x -1

= 1.

(

x2 - (a + 2) x - 2a2 + 4a) 1 - x 0

3. Решите неравенство

sin x sin x -

1 . 2

2x + 2 x > x .

3

2. Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После испарения из раствора одного литра воды концентрация соли возросла на 0,05, а после разведения получившегося раствора тридцатью девятью литрами воды концентрация соли стала в три раза меньше первоначальной. Найдите концентрацию соли в исходном растворе, считая массу 1 литра воды равной 1 кг. 3. Решите неравенство
log
5- 4 x - x
2

4. В ABC , в котором AD медиана, AD = m, AB = a, AC = b. Найдите BAC . 5. Решите систему уравнений

3log x + log 3 5 y = 3, 3 log5 ( y - x - 2 ) + log125 ( y - x + 2) = = log512.
6. В правильной треугольной пирамиде высота равна 3, а объем равен 9 3 . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды. 7. При каких значениях b уравнение

имеет единственное решение? 8. Высота конуса равна 6, радиус основания равен 3. Точка А находится на расстоянии 3 от оси конуса и на расстоянии 4 от плоскости основания конуса. Прямая АВ имеет с конусом единственную общую точку С и пересекает плоскость основания конуса в точке В. Расстояние от точки С до плоскости основания конуса равно 2. Найдите расстояние от точки В до вершины конуса. Вариант 7 (химический факультет и факультет наук о материалах) 1. Решите уравнение
x = 2 - x.

e

5 - 9x - 2x

2

j


1- x

log

b1

- 2x .

g

25 - 2b + 5 5

x

4. На боковых ребрах AA1 , BB1 и CC1 правильной треугольной призмы ABCA1 B1C1 ( AA1 || BB1 || CC1 ) расположены точки K, L и М соответственно. Известно, что угол между прямы ми KL и АВ равен , а угол между 4 прямыми KM и АС равен . Найдите 3 угол между плоскостью, проходящей через точки K, L и М, и плоскостью основания АВС. 5. Найдите наибольшее значение выражения
4 x + 80 x + y + 4 3
2

b

g

x+

1 x

+ 10b 5

-

2 x

=0

2. Решите уравнение

имеет ровно два решения? 8. Из точки А проведены к окружности две касательные (М и N точки касания) и секущая, пересекающая эту окружность в точках В и С, а хорду MN в точке Р; AB : ВС = 2 : 3. Найдите АР : РС. Вариант 6 (физический факультет) 1. Решите уравнение

cos 3 x + sin x sin 2 x = 0 .
3. Две бригады рабочих мостили два участка дороги (первая бригада первый участок, вторая второй), причем объем работ на втором участке был вдвое больше, чем на первом, а в первой бригаде было на 10 рабочих меньше, чем во второй. Производительность труда всех рабочих одинакова. Бригады одновременно начали работу, и когда первая бригада закончила работу, вторая еще работала. Какое наименьшее число рабочих могло быть в первой бригаде? 4. В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите сумму длин второй и третьей окружностей, если радиус первой равен 1, а площадь круга, ограниченного четвертой окружностью, равна 64 . 5. Треугольники DAB, DAC, DBC, представляющие собой боковые грани треугольной пирамиды, имеют одина-

3 cos 3x +

2 = 3 cos x . cos x

при условии, что
6 x + 32 x + y + 283 0
2

2. Решите уравнение
1 x+2 + x+2 = 3x + 1 .

и

x + 86 x + y + 202 0 .

2

3. Решите неравенство
log 3x - 2
2

6. Вершины А и С параллелограмма ABCD лежат на одной окружности, а вершины В и D на другой, причем центры окружностей лежат в плоско-

x -1

+ 3 log

8

b

x -1

3x - 2

g

3

< 1.

4. На стороне АС треугольника АВС взята точка A1 , а на продолжении