Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/01/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:13 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:21 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 2

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

39

Проводящий шар в однородном поле
А.ЧЕРНОУЦАН

В

одну-единственную задачу о проводящем шаре, внесенном в однородное электрическое поле. Полное решение включает в себя как вычисление распределения заряда по поверхности шара, так и определение напряженности поля в окружающем пространстве. Трудность задачи состоит в том, что распределение заряда заранее не известно, и поэтому для вычисления поля нельзя просто воспользоваться методом суперпозиции. Для полного или хотя бы частичного решения таких задач порой используют соображения симметрии, но в большинстве случаев приходится фактически угадывать ответ. В основе всех 'угадывательных' подходов лежит теорема единственности, смысл которой состоит в том, что хорошо угаданное решение и есть единственно правильное. Иногда удается угадать распределение зарядов на проводнике, исходя из которого вычисляется поле, иногда наоборот сначала угадывают поле, а потом уже вычисляют распределение заряда. Самым красивым методом угадывания (или подбора) решения является известный метод электростатических изображений, с помощью которого решаются такие важные задачи, как проводящая плоскость или проводящий шар в поле точечного заряда. Задача о проводящем шаре в однородном поле интересна тем, что позволяет продемонстрировать несколько подходов, в том числе соображения симметрии и метод электростатических изображений. Однако начнем мы с того, что дадим точную формулировку задачи и сразу же приведем ее ответ тот самый, который затем будем получать различными способами и с разных сторон.

ЭТОЙ СТАТЬЕ МЫ РАССМОТРИМ

а) Требуется найти распределение наведенного заряда по поверхности шара. Ясно, что поверхностная плотность заряда может зависеть только от угла , который образует с векто ром E0 радиус, проведенный к данной точке поверхности (рис.1). Значит, ответ должен выражаться функцией .

>C

(V объем шара), помещенного в центр шара. Если вы успели забыть (или не успели узнать), что такое диполь и что такое дипольный момент, напоминаем: диполем называют систему двух точечных зарядов q и q, а дипольный момент p такого диполя равен ql , где l вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному. На большом расстоянии (r >> l) поле диполя определяется его дипольным моментом. Соответствующие формулы выведены в Приложении, а здесь нам осталось пояснить, что такое точечный диполь. Этот идеальный бесконечно малый объект получается предельным переходом l 0 , q , при котором величина дипольного момента p = ql остается постоянной.

- 4


Теорема единственности
Как уже было сказано, теорема единственности является важным подспорьем для всякого, кто пытается решить какую-нибудь не очень тривиальную задачу электростатики или хочет достаточно строго обосновать какое-нибудь утверждение. Поэтому мы сочли уместным выделить отдельный параграф для ее обсуждения. Отметим, что задачи с проводниками могут формулироваться по-разному для каждого из проводников может быть задан или его заряд, или его потенциал. Но в любом случае существует единственное решение поставленной задачи. Для дальнейшего удобно 'заготовить' две формулировки теоремы единственности. Первая формулировка. Существует единственное распределение зарядов по поверхности проводников, при котором напряженность поля внутри проводника равна нулю, а заряды (или потенциалы) проводников равны заданным значениям. Исходя из такого подхода решается, например, задача о распределении заряда по поверхности тонкого проводящего диска (см. 'Квант' ?1 за 1998 г.). Вторая формулировка. Существует единственное распределение напряженности поля в пространстве вне проводников, при котором поверхности проводников оказываются эквипотенциальными, а заряды (или потенциалы) проводников равны заданным значениям. Именно такой подход (подбор правильного поля) лежит в основе метода электростатических изображений (см. 'Квант' ?1 за 1996 г.).

Рис. 1

б) Требуется определить поле, создаваемое этим наведенным зарядом в пространстве вне шара. Ответ должен выражаться либо функцией Eнав r, , где r расстояние от выбранной точки до центра шара (r > R), либо функцией нав r, , либо указанием алгоритма по их вычислению. Полная напряженность будет при этом равна E = Eнав + E0 . Заметим, что так как полная напряженность внутри шара должна быть равна нулю, наведенный заряд при r < R должен создавать напряженность - E 0 . Ответ: а) Зависимость поверхностной плотности заряда от угла имеет вид

>C

>C

= 0 cos ,

(1)

где максимальная плотность 0 выражается через напряженность E0 :

0 = 3 0 E0

(2)

Формулировка и ответ
Формулировка: В однородное поле с напряженнос тью E0 помещают незаряженный проводящий шар радиусом R.

( 0 электрическая постоянная). б) Поле вне шара совпадает с полем точечного диполя с дипольным моментом


p = 3V 0 E



0

(3)