Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/01/05.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:10 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:18:24 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: annular solar eclipse

МАТЕМАТИКА

ВО

ВТОРОЙ

ПОЛОВИНЕ

XX

ВЕКА

5

Рис.2. Множество Мандельброта

Рис.3. Множество Жюлиа

ми системами. Такие системы порождают узоры необыкновенной красоты. Честь открытия этих узоров принадлежит Бенуа Мандельброту (родившемуся в Варшаве, получившему степень доктора философии по математике в Париже, ныне профессору прикладной математики в Гарвардском университете). На рисунке 2 изображено одно из 'множеств Мандельброта'. Эта необычайная картина получается из простейшего итерационного процес2 са, а именно такого: zn +1 = zn + с, n = 0, 1, 2, ..., где с и z 0 комплексные числа. Если положить с = = 0 и взять z0 внутри единичного круга, то числа z n будут стремиться к нулю. В этом случае говорится, что нуль является аттрактором для нашей последовательности. Если z0 > 1, то последовательность z n устремляется к бесконечности (т.е. и бесконечность является аттрактором). А если z0 = 1, то последовательность будет вечно блуждать по единичной окружности. Таким образом, единичная окружность является здесь границей двух областей, в каждой из которых точки последовательности притягиваются к своему аттрактору. Эта окружность называется множеством Жюлиа (по имени французского математика, изучавшего подобные множества еще во втором десятилетии прошедшего века). Множество Жюлиа для значения с = 0,12 + 0,74i
2 Квант ?1

изображено на рисунке 3. Мандельброт же с помощью компьютера сумел нарисовать те множества с, при которых множество Жюлиа связно. Таким примером и является множество, изображенное на рисунке 2. Множества Жюлиа и Мандельброта устроены весьма сложно, но вместе с тем они обладают рядом примечательных особенностей. В частности, множества Жюлиа 'самоподобны': фрагмент этого множества повторяет структуру всего множества в целом. Такого рода множества Мандельброт назвал фракталами.

Математика и космос
К числу величайших завоеваний XX века вне всякого сомнения следует отнести рождение космической эры. Здесь, разумеется, также не обошлось без математики. Родилась новая ветвь теории экстремума теория оптимального управления 2 (лидерами его были у нас Л.С.Понтрягин, а в США Р.Беллман), а также новая ветвь теоретической механики, получившая парадоксальное наименование 'прикладная небесная механика'. Наличие мощных вычислительных средств позво-

лило ставить численные эксперименты с небесными системами, подобными нашей Солнечной. Все планеты нашей системы движутся по почти круговым орбитам, лежащим почти в одной плоскости. А что было бы, если бы орбита Луны была перпендикулярна орбите Земли? Выяснилось, что Луна упала бы на Землю через четыре с половиной года! Наблюдение за поведением спутников позволило открыть ряд новых явлений природы, например 'дыхание атмосферы' (на солнечной стороне линии равной плотности атмосферы вытягиваются в сторону Солнца и прижимаются к Земле на теневой стороне). Оба описанных факта падение Луны и дыхание атмосферы были открыты М.Л.Лидовым.

2 Теории экстремума и, в частности, теории оптимального управления посвящена моя книга 'Рассказы о максимумах и минимумах' (Библиотечка 'Квант', вып. 56).