Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/06/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:40 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:27 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

39
4 + x.
2

Вернемся к старой переменной:

b

x 3 x + 5 >

gb

g

5 2 x 8 x + 24 4 5 < 0 42 5 2 < x < 4+2 5 2.

2

15. 16. 17. 18. 19. 20.

2 3+x <
2 2 2

3 x + 5 x + 7 3 x + 5 x + 2 > 1. 25 x + x + x > 3.

Отметим, что первый равносильный переход в последней цепочке преобразований то, что остается от (довольно громоздкой!) схемы (2), если в ней g x просто положительное число. Для того чтобы решить систему (b) и получить ответ, надо заметить, что решения ее второго неравенства интервал с

bg

x 1 + x 3 x + 7 1 < x 1 x

2 x3

b

x 5 + 1 x > x 1 x

g + 2x b x + 7 gb
2

2 .

x 5 .

g

1

.

центром в точке 4 радиуса r = 2 5 2 , поэтому осталось только сравнить числа 3 и (4 r). Делаем это следующим образом: подставляем х = 3 в квадратный трехчлен, фигурировавший в последнем решенном нами неравенстве: 3 8 3 + 24 4 5 = 9 4 5 = 81 80 > 0 . Итак, число 3 расположено вне интервала корней квадратного трехчлена, поэтому оно меньше меньшего корня трехчлена, и мы можем завершить решение системы (b): 42 5 2 < x 4. Учитывая найденные ранее другие решения данного неравенства, получаем ответ. Ответ: 4 2 5 2 < x 5. 9 9 9
2

Напомним, что выражения a b и a + b называются сопряженными друг другу. Нам понадобится хорошо известное свойство этих выражений: их произведение 2 2 a b уже не содержит корней из а и b. Поэтому в ряде задач вместо возведения в квадрат, приводящего к слишком громоздким выражениям, разумнее умножить обе части неравенства на выражение, сопряженное одной из них. Пример 15. Решите неравенство 5 x + 1 x + 3 < 2 x 1. Решение. Найдем ОДЗ:

< x x . x x Решение. ОДЗ данного неравенства: 3 x < 0 ; x 3 . Заметим, во-первых, что при х < 0 данное неравенство не имеет решений: его неотрицательная левая часть не может быть меньше отрицательной правой. Поэтому осталось решить данное неравенство при x 3 . Во-вторых, при x 3 правая часть данного неравенства положительна: от числа, большего или равного 3, отнимается число, меньшее 3 . Поэтому обе части данного неравенства в этом случае неотрицательны и его можно возвести в квадрат: Пример 14. Решите неравенство 9 9 x < x 2x x
2

Домножим обе части данного неравенства на выражение, сопряженное его левой части и, очевидно, положительное в ОДЗ:

R | S | T

5 x + 1 0, x+30

x

1 5

.

b

5 x + 1 x + 3 < 2x 1

gb

gb
g

ge 2b2

5x + 1 + x + 3 x 1 < 2x 1

gb

ge

j

5x + 1 +

x+3 .

j

9 x
2

+x

9 x

0 x 9 x
2

0 < x 9 2x x 9 2

e

j

+x x 9 x
2

e

2

j

e

x 9 x +x>0

2

j

FG H

IJ K

2

> 0.

Последнее неравенство при наших ограничениях равносильно системе x 3, x 3, 1 + 37 2 . x x 9 x 2 Это и есть ответ.

R | S | T

R | S | | T

Дальнейшее решение зависит, очевидно, от знака общего множителя 2 x 1 левой и правой частей полученного неравенства. 1 1 Если он меньше нуля, т.е. x < , сократив на этот 5 2 отрицательный множитель, приходим к неравенству 5 x + 1 + x + 3 < 2 , из которого находим (например, с помощью подстановки x + 3 = t 0 или прямым возведением в квадрат ведь обе части этого неравенства положитель1 4 19 (обязательно проделайте все выкладны) x < 5 2 ки и убедитесь в правильности этого ответа). Во втором случае, если общий множитель положителен, 1 т.е. при x > , после сокращения на него получаем неравен2 ство 5 x + 1 + x + 3 > 2 , справедливое при всех этих значениях х: ведь тогда верны оценки

b

Ответ: x 3;

LM MN

1 + 37 2

I F JK GH

1 + 37 2

;+ .

I JK

> 1 + 1 = 2. 2 2 2 2 Осталось указать, что в третьем возможном случае если общий множитель равен нулю, неравенство не выполняется: мы получаем тогда 0 > 0, что неверно. 1 4 19 Ответ: x ; 5 2

5x + 1 +

x+3 >

5

+1 +

1

+3 =

7

+

5

Упражнения. Решите неравенства. 11. 13.
3x + 1 2 x > 1 . 1 x
2

12. 14.

2 x x < 1.
24 2 x x x
2



3 4

<

1 x



1 2

.

< 1.

Замечание. Конечно, примененный способ привел к успеху из-за того, что разность подкоренных выражений оказалась кратной правой части данного неравенства. Это обсто-

LM MN

I F JK GH

1 2

;+ .

IJ K