Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/06/23.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:39 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:11 2012 Кодировка: Windows-1251

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

23
f x = an x n + K + a0 . af x = f cx ,

взаимно однозначным: одинаковым числам соответствуют одинаковые спутники, разным числам разные спутники. Таким образом, если, в соответствии с нашим предположением, не оказалось одинаковых чисел, то не окажется и одинаковых спутников. Оценим сверху сумму всех спутников, когда модули всех чисел оказались больше 3. Нетрудно заметить, что лишь 4 комплексных числа имеют модуль, меньший 3: 1 + i, 1 + 2i, 2 + i, 2 + 2i. Сумма соответствующих им спутников равна 1 1 1 1 1 + + + = 2 3 2 3 2 2 2 3 22 3 2 3 (это значение пригодится чуть позже). В любой момент времени спутники всех написанных на доске чисел 1 являются различными дробями вида a b , поэтому 2 3 их сумма заведомо меньше суммы всех дробей такого вида за вычетом суммы четырех перечисленных выше 1 спутников. Но сумма всех дробей вида a b , очевид2 3 но, равна

a + b = 1 при любом k; ниже мы будем считать f x k . Всюду ниже

bg

б) Решим более общее уравнение именно оно понадобится нам ниже, при решении в). n Приравняем коэффициенты при x в левой и правой n частях (2); получим a an = an c , или a = cn. При а = с = 0 решением является любой многочлен f x без свободного члена: a0 = 0 ; при а = с = 1 любой многочлен f x . Если с = 1, то при а = 1 в качестве решений получаются все четные, а при а = = 1 все нечетные многочлены. Пусть c 0 , c +1 , и пусть n > i 0 . Имеем: a ai = ai c i . При ai 0 мы получаем противоречие: a = ci = c n . Следовательно, ai = 0 при n > i 0 , и f x = kx n . в) Рассмотрим обе части равенства (1) как многочлены n от х и приравняем коэффициенты при x в левой и n правой его частях. Получим a = c ; аналогично b = d n . Пусть n = 1, а значит, а = с и b = d. Легко показать, что многочлен f t = kt + h , где k произвольное число, удовлетворяет (1) при h = 0, а в случае a + b = 1 и при любом h. При рассмотрении случая n > 1 нам понадобится следующая Лемма. Если

bg

bg b g

(2)

bg

bg

bg

FG H

1 1 1 1 1 1 11 + 2 + 3 +K Ч + 2 + 3 +K = 1 Ч = , 22 33 22 2 3

IJ FG KH

IJ K

bg

111 поэтому сумма всех спутников меньше - = . 236 С другой стороны, при проведении указанных в условии операций сумма спутников не изменяется. Чтобы убедиться в этом, необходимо всего лишь проверить справедливость равенств: 1 1 = 2 Ч a +1 b , a b 2 3 2 3 1 1 1 1 = a +1 b + a b +1 + a +1 b +1 , a b 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 = 2 Ч a b +1 + 2 a +1 b +1 . a b 2 3 2 3 2 3 Первоначально на доске было единственное число 1 + i, 1 1 = . Поэтому и в дальнейспутник которого равен 23 6 1 шем сумма спутников должна остаться равной . Но, 6 1 как уже выяснилось, эта сумма меньше . Противоре6 чие показывает, что предположение об отсутствии среди выписанных чисел двух одинаковых неверно. Следовательно, среди чисел непременно имеются два одинаковых, что и требовалось доказать. И.Акулич, И.Воронович

то cd c + d = 0 . Доказательство. Достаточно доказать, что многочлен

b

g

cn + d n = c + d , где n > 1,

b

g

n

(3)

P x = x+c

где c 0 , n > 1, не может иметь корней, отличных от 0 и с. Докажем это. При четном n производная P x не имеет корней, значит, 0 один-единственный корень многочлена P x . При нечетном n производная имеет единственный корень, значит, 0 и с единственные корни многочлена P x . Лемма доказана. (Можно рассуждать и по-другому: воспользоваться тем, что функция

bg b

g

n

- x n - cn ,

bg

bg

bg

Qt =P t-

bg FGH

c c = t+ 2 2

IJ FG KH

IJ - FG KH
n

t-

c 2

IJ K

n

- cn =
n -1

= qn -1t

+q

n-3

t

n- 3

+K

1779. Найдите все многочлены f а) такие, что f x + f y = f x + y ; б) такие, что af x = f 2001x , где а некоторое число; в) такие, что

bg bg b g bg b g bg bg b

при четном n монотонна на всей оси, а при нечетном на положительной и отрицательной полуосях.) Рассмотрим теперь обе части (1) как многочлены от t = x = y. Рассуждая как выше, получим:

af x + bf y = f cx + dy , где a, b, c, d некоторые числа.

g

(1)

a+b = c+d ,
а значит,

b

g

n

cn + d n = c + d .

Пункт а) следует из пункта в), поэтому его опустим. Многочлен f x = k является решением при k = 0, а при

bg

По лемме отсюда следует, что cd c + d = 0 . В случаях с = 0 и d = 0 (1) сводится к (2); пусть c 0 ,

b

g b

n

g