Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/06/05.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:37 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:59 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: ic 4603

ТРИ

ТЕОРЕМЫ

О

ВЫПУКЛЫХ

МНОГОГРАННИКАХ

5

При этом соответственные ребра, двугранные углы при которых равны, не получают никакого знака (остаются нейтральными). Выберем любую вершину v многогранника М, к которой подходит хотя бы одно ребро со знаком. Рассмотрим многогранный угол многогранника М с вершиной v. По следствию из леммы 2, число перемен знака при обходе v не меньше четырех. С другой стороны, по лемме 1, среди таких вершин должна быть хотя бы одна, при обходе вокруг которой число перемен знака не больше двух. Полученное противоречие доказывает теорему Коши. Отметим, что теорема Коши позволяет ослабить определение правильных многогранников. Напомним, что правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все грани суть равные правильные многоугольники и двугранные углы попарно равны.
Упражнение 1. Докажите, что выпуклый многогранник, все грани которого равные правильные многоугольники, является правильным многогранником тогда и только тогда, когда в каждой вершине сходится одинаковое число граней. (Указание. Очевидно, что у правильного многогранника во всех вершинах сходится одинаковое число граней. Для доказательства в обратную сторону нужно воспользоваться сначала теоремой Эйлера, а затем теоремой Коши.)

диагоналей прямую l (рис.5). Так как в четырехугольнике ABCD противоположные стороны равны, то прямая l, как нетрудно показать, перпендикулярна обеим диагоналям.
Упражнение 2. Докажите, что прямая, проходящая через середины диагоналей пространственного четырехугольника с попарно равными противоположными сторонами, перпендикулярна обеим диагоналям.

В силу этой перпендикулярности при повороте вокруг прямой l на 180њ вершины А и C, а также В и D меняются местами и, следовательно, четырехугольник ABCD переходит в себя. Заметим, что в предельном случае, когда многоугольник становится плоским параллелограммом, точки O1 и O2 сливаются в одну точку, а прямая l переходит в прямую, проходящую через точку пересечения диагоналей параллелограмма перпендикулярно его плоскости. Возьмем вне прямой l какую-нибудь точку S и построим четыре треугольника SAB, SBC, SCD и SDA (рис.6,а). Эти треугольники (точнее, их плоскости) образуют четырехгранный угол. Из школьно-

Вопрос однозначно ли задается форма многогранной поверхности своими гранями или она может меняться за счет изменения двугранных углов, давно интересовал математиков. В 1776 году великий Эйлер высказал гипотезу: 'Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется'. Под 'замкнутой пространственной фигурой' понималось то, что сейчас принято называть замкнутой поверхностью. Тем самым предположение Эйлера относилось не только к многогранным поверхностям. Теорема Коши подтвердила гипотезу Эйлера в случае выпуклых многогранников. На протяжении двух веков геометры верили, что не только выпуклый, но и невыпуклый многогранник тоже неизгибаем. Хотя первые сомнения зародились в конце XIX века после того, как в 1897 году французский математик Брикар нашел первые контрпримеры к гипотезе Эйлера. Правда, эти изгибаемые многогранники, так называемые октаэдры Брикара, не совсем обычные многогранники: они самопересекаются. Идея Брикара очень остроумна. Возьмем в пространстве четырехугольник ABCD с попарно равными противоположными сторонами: АВ = CD, ВС = =AD. Если ABCD лежит в плоскости, то это знакомый нам параллелограмм. Пусть ABCD пространственный четыреO l C хугольник, т.е. вершиA ны А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Его диагонали АС и BD лежат на скрещивающихBO ся прямых. Проведем чеD .5 рез середины O1 и O2
2 Квант ? 6

)

*
.6

,

го курса геометрии известно, что плоские углы трехгранного угла задают его двугранные углы, а следовательно, и весь трехгранный угол однозначно. Однако если число граней у многогранного угла больше трех, то такой однозначности нет. Очевидно, что четырехгранный угол SABCD при фиксированных плоских углах допускает непрерывную деформацию (изгибание). При таком изгибании четырехугольник ABCD деформируется в четырехугольник с соответственно такими же сторонами и соответствующей осью симметрии. При повороте вокруг оси l на 180њ четырехгранный угол SABCD переходит в конгруэнтный угол S1CDAB (рис.6,б). Совокупность 8 треугольников удовлетворяет всем трем условиям в определении многогранника. Правда, некоторые грани этого многогранника пересекают друг друга. Этот самопересекающийся многогранник и есть октаэдр Брикара. Почему октаэдр Брикара изгибаем? Половинка октаэдра, очевидно, изгибается. Вторая половинка получается из первой поворотом вокруг оси l, и, следовательно, ее деформация в точности повторяет деформацию