Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/06/kv0601zadachi.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:41 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:35:40 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п

АЧ ЧИ К З А ДЗА Д АН Н ИК

'КВАНТА'

'КВАНТА'

19


. , , . . , . , . 1 2002 : 117296 , , 64 , ''. ( ) . '' : ' '' 6 - 2001' , , '1796' '1803'. '... ' . ( ). , , ( : ' '', ' ' '', '). , .

1796--1800, 1803-1807
1796. Король обошел шахматную доску, побывав на каждом поле по одному разу, и последним ходом вернулся на исходное поле. Когда соединили центры полей, которые он последовательно проходил, получилась замкнутая ломаная из 64 звеньев (каждому ходу соответствует одно звено). Оказалось, что никакие два соседних звена не лежат на одной прямой. Докажите, что наименьшее возможное число диагональных ходов равно 8. И.Акулич 1797. Красные и синие точки, строго чередуясь, разделили окружность на 2n дуг. Из них любые две смежные дуги различаются по длине на 1. Докажите, что n-угольник с красными вершинами и n-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади. В.Произволов 1798. Известно, что в некотором городе живут 1000 человек и ровно 300 из них честные. Остальных назовем хитрыми. На некоторые вопросы хитрые отвечают правду, а на некоторые лгут по своему усмотрению. Сколько хитрых людей мы можем обнаружить, задавая жителям произвольное число вопросов, при условии, что жители все друг о друге знают? Н.Васильев, Б.Гинзбург 1799*. Натуральные числа х и у таковы, что сумма ху + х + у дает квадрат целого числа. Докажите, что найдется натуральное число z такое, что каждая из семи сумм xy + z, yz + x, zx + y, yz + y + z, zx + z + x, xy + yz + + zx и xy + yz + zx + x + y + z дает квадрат целого числа. В.Произволов
5 Квант ? 5

1800. Докажите, что сумма квадратов площадей граней любого тетраэдра равна учетверенной сумме квадратов площадей трех его сечений, каждое из которых проходит через середины четырех ребер. А.Заславский 1803. Под каким углом к горизонту следует бросить камень, чтобы расстояние от него до точки бросания в течение полета все время возрастало? Камень бросают с небольшой скоростью, сопротивлением воздуха можно пренебречь. З.Рафаилов 1804. Грузы, массы которых М и 4М, при помощи легкой нерастяжимой нити подвешены на очень легком подвижном блоке. Еще один кусок такой же нити переброшен через неподвижный блок, к одному концу этой нити прикреплен подвижный блок, к другому груз массой m. При каких значениях m один из грузов может оставаться неподвижным после того, как тела перестанут удерживать? А.Блоков 1805. В сосуде объемом 1 л находится моль азота при давлении 1 атм. Азот медленно откачивают, поддерживая температуру сосуда неизменной. Какую массу газа придется откачать к тому моменту, когда давление в сосуде упадет вдвое? Д.Александров 1806. К батарейке подключены два очень длинных одинаковых проводника, расположенных параллельно друг другу. Между проводниками включено огромное количество одинаковых вольтметров, как показано 8 8 88 88 88 на рисунке (все образованные про-


20

К В А Н T 2001/6

водами 'треугольники' одинаковы). Первый из воль-

тметров показывает 6,02 В, второй показывает 5,97 В. Считая показания приборов точными, найдите показания следующих двух вольтметров. Во сколько раз изменится ток, потребляемый всей цепью от батарейки, если второй, четвертый, шестой, и т.д. вольтметры отключить? А.Зильберман

1807. Проводящий шар заряжают некоторым зарядом Q и при помощи длинной и очень тонкой проволочки соединяют с незаряженным проводящим шаром втрое меньшего радиуса, расположенным очень далеко. Максимальное значение силы тока оказывается при этом равным I0 . Каким будет это значение в другом опыте когда вначале каждый из зарядов первого и второго шара равен Q? Сопротивление проволочки мало. А.Шаров

k-m+l , а без чис2 k+l-m ла 9 . Откуда 2 следует, что искомая алгебраическая сумма будет равна нулю. Внимательный читатель отметит, что числа 2, 5 и 9 в условии задачи можно заменить любой тройкой различных чисел. В.Произволов 5-

*

-

/ .

,

1773. Высота CD и биссектриса АЕ прямо- + ) угольного треугольника АВС ( C = 90њ) пересекаются в точке F (см. рисунок). Пусть G точка пересечения прямых ED и BF. Докажите, что площади четырехугольника CEGF и треугольника BDG равны.
Так как АЕ биссектриса ABC , а AF биссектриса ADC , EC AC DA DF = = cos BAC = = , FC BE AB AC
EC FC = BE DF = BC - EC CD - CF , BC AC = BC CF + EC CD .

>

C>

C

Умножив обе части последнего равенства на 1 2 sin BCD , получим, что
SBCD = SBCF + S
ECD

.
+S
,
DFG

Но
SBCD = SCEGF + SBEG + S
BGD DFG

S

BCF

= SGECF + S

BEG

,S

ECD

= SGECF + S

,

откуда и следует требуемое равенство.

И.Жук

1774. Король сказочной страны пригласил на пир людоедов своей страны. Среди них есть людоеды, которые хотят съесть других людоедов. (Если людоед А хочет съесть людоеда В, то это не значит, что людоед В хочет съесть людоеда А.) Известно, что наибольшая цепочка, в которой первый людоед хочет съесть второго, второй третьего и т.д., состоит из шести людоедов. Докажите, что король может так рассадить людоедов по шести комнатам, что в каждой комнате никто не хочет никого съесть.
Обозначим людоедов точками. Соединим точки а и b, соответствующие людоедам А и В, линией со стрелкой от а к b, если людоед А хочет съесть людоеда В. Удалим из схемы минимальное число линий, так чтобы в оставшейся схеме не оказалось циклов, т.е. путей вида (a, b, ..., a). Для любой точки v определим ее метку t v как число точек в наибольшем пути с началом в точке v на получившейся схеме (рис.1). Из условия задачи следует, что максимальное значение t v равно 6.

>C

>C

1771--1780, 1788--1792