Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/06/kv0601variants.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:37 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:36:51 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: солнечный цикл

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

41

А вот пример другого рода. 2 2 Пример 19. Решите неравенство 3 x + x + 1 x 1 . Решение. Найдем ОДЗ: x = 1; 1 x 3 . Сначала убедимся прямой подстановкой, что х = 1 решение нашего неравенства. Далее, при 1 x 3 выполняются неравенства 3x 0 и
2

x + 1 2 , но

x 1

2

2 , поэтому данное неравенство выполняется на всей своей области определения. Ответ: х = 1; 1 x 3 . Похожие идеи лежат в основе решения и следующей задачи. x + x > 3. Пример 20. Решите неравенство 2 x 4 Решение. ОДЗ исходного неравенства: x < 2; x > 2. Заметим, что отрицательные значения неизвестного не могут быть решениями задачи, так как тогда отрицательная левая часть неравенства не может быть больше положительной правой; таким образом, из ОДЗ осталось исследовать только случай x > 2. Но тогда x x 4
2

числитель дроби, очевидно, больше знаменателя); итак, первое слагаемое левой части больше 1, а второе больше 2, поэтому их сумма вся левая часть данного неравенства больше 3, что и требуется. Ответ: х > 2. Таким образом, мы убедились в том, что иногда полезно найти область определения данного неравенства (или, что то же самое, его ОДЗ) и непосредственно исследовать ситуацию на этой области оценить значения его левой и правой частей.
Упражнения. Решите неравенства. 32. 33.

x - 2 + 5 2x - 1 3 3 - 2x . 1 - x2 + 1 + x2 - x - 1 2 . x2 - 1 1 . x - 1 + 4 - x2 + tg
37.

34. x + 36.

c lgc

lg x + 1 x- -

h 1h
1

35.

x > 1. 4

+ x2 - 4 > 1 . < 0.
39.

x - 2 + 2x > 9 .

=

x
2

2

x 4

> 1 (поскольку

38. 4

x

x

1 - 1 - 4 x2 < 3. x

ВАРИАНТЫ

2001

Письменный экзамен 1 1. Решите систему уравнений

2. Решите уравнение cos x sin 3 x
3

R2 | S | T

x + y +1

+ 72
2

y5

= 4,

2x + y = x + y.
3

середина ребра CD, точка S лежит на прямой АВ, 2AB = BS и точка В лежит между А и S. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным? 6. Сторона основания АВС правильной пирамиды ABCD равна 8 3 , высота пирамиды DO = 6. Точки A1 , B1 , C1 середины ребер AD, BD, CD соответственно. Найдите 1) угол между прямыми BA1 и AC1 ; 2) расстояние между прямыми BA1 и AC1 ; 3) радиус сферы, касающейся плоскости АВС и отрезков AC1 , BA1 и CB1 . 2 1. Решите уравнение 2 x 8 x + 25 x 4 x + 13 = 2 . 2. Решите уравнение ctg x + ctg 3x = 1 + ctg2 x . 3. Решите неравенство log
20 2 x 2 2

sin x cos 3 x + = 3 sin 2 x cos x . cos 2 x cos 2 x 3. Решите неравенство 1 1 . 2 2 x 2x + 4 2 x 3x 4. Через точку А проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке В, а другая пересекает эту окружность в точках С и D так, что точка С лежит на отрезке AD. Найдите АС, ВС и радиус окружности R, если 5 1 . BD = 5, BAC = arcsin , BDC = arccos 21 6 5. Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами поставлено гранью АВС на плоскую поверхность. Точка F

e

99 2 x x

2

j

+ log

99 2 x x

2

b20

2x 3 .

g

4. В треугольнике АВС таком, что АВ = ВС = 6 и АС = 2, проведены медиана AA1 , высота BB1 и биссектриса CC1 . Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых 1) BB1 , CC1 и BC; 2) AA1 , BB1 и CC1 .


42
5. Решите систему неравенств

К В А Н T 2001/6

6. Три шара радиуса r касаются друг друга внешним образом и каждый шар касается внутренним образом сферы радиуса R. При каком соотношении между r и R это возможно? Найдите радиус наименьшего из шаров, касающихся трех шаров радиуса r внешним образом, а сферы радиуса R внутренним образом. 3 1. Решите неравенство x + 4x + 3 < 1 + 2. Решите уравнение sin 4 x + sin 3 x sin 2 x sin x cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x = | cos 2 x| 2 sin x sin x +
2

Ry | S9x | T
2

+ 3xy + 1 0,
2

12x 8y 0.

x 2x + 2 .

2

2) Найдите силу треO g ния между чашей и стоm лом при прохождении шайбой точки С. B A 2. Температура геR H лия уменьшилась в C k = 3 раза в процессе 2 pV = const (здесь р давление газа, V его объем). При этом его . 1 внутренняя энергия изменилась на 50 Дж. Найдите: 1) максимальное давление газа pmax ; 2) объем газа V2 в конечном состоянии. Минималь5 ное давление газа в этом процессе составило pmin = 10 Па . 3. В электрической цепи, представленной на рисунке 2, диоды D1 и D2 идеальные. Считая параметры элементов

R

C

3. Окружность C1 радиуса 2 3 с центром O1 и окружность 3 с центром O2 расположены так, что C2 радиуса OO2 = 2 13 . Прямая l1 касается окружностей в точках A1 1 и A2 , а прямая l2 в точках B1 и B2 . Окружности C1 и C2 лежат по одну сторону от прямой l1 и по разные стороны от прямой l2 , A1 C1 , B1 C1 , A2 C2 , B2 C2 , точки A1 и B1 лежат по разные стороны прямой OO2 . Через точку B1 1 проведена прямая l3 , перпендикулярная прямой l2 . Прямая l1 пересекает прямую l2 в точке А, а прямую l3 в точке В. Найдите A1 A2 , B1 B2 и стороны треугольника ABB1 . 4. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 1, боковое ребро образует с основанием угол, равный arctg4 . Точки Е, F, K выбраны на ребрах АВ, AD и AE AF SK 2 = = = . Найдите SC соответственно так, что AB AD SC 3 1) площадь сечения пирамиды плоскостью EFK; 2) расстояние от точки D до плоскости EFK; 3) угол между прямой SD и плоскостью EFK. 5. Найдите все а, при которых уравнение log 3 x + 5 a + log1 имеет решение. 6. Решите систему уравнений

FG H

4

IJ K

.

K E C
. 2

D D R

e

j

3

b

a 2 x = log 9 4

g

R3x |x 5 S |x + 9 T

y 5z 2yz = 0, y z 2z2 = 0, y 3z + 2xz = 0.

Письменный экзамен 1 1. На горизонтальной поверхности стола покоится чаша с небольшой по сравнению с размерами чаши шайбой массой m (рис.1). Нижняя часть АВ внутренней поверхности чаши есть часть сферы радиусом R. Глубина чаши H = 3R/5, ее внутренняя поверхность гладкая. Шайба начинает скользить без начальной скорости и при движении не отрывается от чаши, а чаша остается в покое. Шайба достигает точки С, для которой угол между радиусом ОС и вертикалью равен ( cos = 4 5 ). 1) Найдите скорость шайбы в точке С.

цепи известными, определите: 1) ток через батарею сразу после замыкания ключа K; 2) количество теплоты, выделившееся в схеме после замыкания ключа. Внутренним сопротивлением батареи преC небречь. 4. Проводник массой М и длиной l подвешен за концы к непроводящему потолку с поB мощью двух одинаковых проводящих пруg l жин, каждая жесткостью k (рис.3). К верх- . 3 ним концам пружин подсоединен конденсатор емкостью С. Вся конструкция находится в магнитном поле с индукцией B , перпендикулярной плоскости конструкции. Проводник смещают вниз на расстояние h от положения равновесия, а затем отпускают. Определите скорость проводника, когда он снова окажется в положении равновесия. Сопротивлением и самоиндукцией проводников пренебречь. 5. Точечный источник света находится на главной оптической оси на расстоянии d = 8 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см. Источник сместили вниз на расстояние h = 4 см в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси. На сколько и куда надо сместить линзу, чтобы изображение источника вернулось в старое положение? L 2 1. Ящик с шайбой удерживают в покое на наклонной плоскости с углом наклона к гориo зонту = 30 (рис.4).

. 4

g


ВАРИАНТЫ

43
( )
Письменный экзамен 1

Ящик и шайбу одновременно отпускают, и ящик начинает скользить по наклонной плоскости, а шайба по дну ящика. Через время t = 1 с шайба ударяется о нижнюю стенку ящика. Коэффициент трения скольжения между , шайбой и ящиком ч 1 = 023 , а между ящиком и наклонной , плоскостью ч 2 = 027 . Масса ящика вдвое больше массы шайбы. 1) Определите ускорение шайбы относительно наклонной плоскости при скольжении шайбы по ящику. 2) На каком расстоянии L от нижней стенки ящика находилась шайба до начала движения? 2. В цилиндре под поршнем находятся 0,5 моля воды и 0,5 моля пара. Жидкость и пар медленно нагревают в изобарическом процессе так, что в конечном состоянии температура пара увеличивается на T . Какое количество теплоты было подведено к системе жидкостьпар в этом процессе? Молярная теплота испарения жидкости в заданном процессе равна . ВнутE ренняя энергия молей пара равна U = 3 RT (R универсальная газовая постоянQ ная). 3. Батарея с ЭДС E подклю3 1 2 чена к удерживаемым неподвижно пластинам 1 и 3 плоского конденсатора (рис.5). Плоd/2 d/2 щадь пластин S, расстояние между ними d. Посредине меж. 5 ду этими пластинами расположена закрепленная неподвижно металлическая пластина 2, на которой находится заряд Q. Пластину 1 отпускают. Какую работу совершит батарея к моменту соудаC рения пластин 1 и 2? Силой тяжести и внутC ренним сопротивлением K батареи пренебречь. 4. При замкнутом ключе K в LC-контуре (рис.6) L происходят незатухающие свободные колеба. 6 ния. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе емкостью C1 максимально и равно U1 , ключ размыкают. Определите максимальное значение тока в контуре после размыкания ключа. Параметры элементов схемы указаны на рисунке. 5. Из стеклянной пластинки с показателем преломления 4 n = 1,5 вырезали толстую лин5 * зу в форме полушара радиу= сом R = 10 см (рис.7). Через такую линзу рассматривается точечный источник света S, расположенный на расстоянии . 7 а = R/2 от плоской поверхности полушара. На каком расстоянии от этой поверхности наблюдатель видит изображение источника света? Указание: для малых углов tg sin . Публикацию подготовили М.Балашов, В.Можаев, Ю.Чешев, М.Шабунин

( , , ) 1. Решите неравенство x+6 2x - 3 2. Решите неравенство < 1.

log 4 3 x - 8 < log 3. Решите систему уравнений

b

g

1 4

b

x-2 +

g

3 2

.

. 4 4. Равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС = 6; АС = = 4) является нижним основанием прямой призмы ABCA1 B1C1 с боковыми ребрами AA1 = BB1 = CC1 = 6 2 . На ребрах AA1 , B1C1 , АС взяты, соответственно, точки М, N, L так, что A1 M = 2 2 , B1 N = 3 , CL = 1. Через точку L проведена прямая, которая параллельна прямой MN и пересекает боковую грань CB1BC в точке Е. Найдите а) длину отрезка 1 MN; б) длину отрезка LE. 5. Найдите все значения а, при которых уравнение

R | | S | | T

sin x - sin y =
2

2

7 4

, 1

cos x + 3 cos y =

b

a + 2 x + 2a - 1 x + a - 5 a - 4 = 0

g

2

b

g

2

имеет только целые корни. 2 ( , ) 1. Решите неравенство 4x - 2 - 9

1. x-2 2. Найдите все значения а, при которых система

Rax + 2y = 3a - 4, | Sb3a - 1gx + ba + 3g | T
b

y = a +1

2

не имеет решений. 3. Решите уравнение

log 3 cos x = log 3 2 + 3 sin x - 1 . 4. В основании правильной треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 9. Боковые ребра пирамиды равны 5 3 . На ребре АВ взята точка D так, что AD = 3. Через точки С, D проведена плоскость , перпендикулярная плоскости основания пирамиды. Требуется а) найти объем пирамиды SABC; б) определить, в каком отношении плоскость делит объем пирамиды.

g


44
5. Найдите сумму всех корней уравнения 2 cos 3 x + 8 sin x - 7 = 0 , 2 3 . принадлежащих отрезку - ; 34

К В А Н T 2001/6


Письменный экзамен 1 ( ) 1. Три мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки кольцевого шоссе в одном направлении. Первый мотоциклист впервые догнал второго, пройдя 4,5 круга после старта, а за полчаса до этого он впервые догнал третьего мотоциклиста. Второй мотоциклист впервые догнал третьего через три часа после старта. Сколько кругов в час проезжает первый мотоциклист? 2. Решите уравнение |9 sin x + 8 cos 2 x| =| 5 + 3 cos x|
2

LM N

OP Q

Задачи устного экзамена 1. Тело массой m, брошенное под углом к горизонту, при движении имело минимальную кинетическую энергию Е. Найдите изменение импульса тела за все время движения. 2. Телу массой m, подвешенному на нити длиной l, сообщают направленную горизонтально начальную скорость v, в результате чего тело совершает колебания. Найдите силу натяжения нити в тот момент, когда скорость тела равна v/2. 3. Один моль идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из изохоры 12, изобары 23 и прямой 31. Температуры в точках 1, 2 и 3 связаны соотношением T3 = = 2 T2 = 3 T1. Определите КПД цикла. 4. Водяной пар, находящийся в сосуде объемом V = 10 л при температуре t = 100 њС и давлении р = 50 кПа, изотермически сжимают. Во сколько раз уменьшился объем, если в конце процесса в сосуде содержалось m = 1,45 г воды? 5. Два конденсатора, заряженные от одного и того же источника, соединили первый раз одноименными полюсами, а второй разноименными. При этом полная энергия электрического поля, запасенная в системе, во втором случае была вдвое меньше. Найдите отношение емкостей конденсаторов. 6. Электрон со скоростью v влетает в плоский конденсатор параллельно его обкладкам. Его импульс за время пролета через конденсатор возрастает вдвое. Определите, на сколько смещается электрон относительно первоначального направления, если к обкладкам конденсатора приложено напряжение U, расстояние между ними d. Заряд е и масса m электрона известны. 7. Аккумулятор с внутренним сопротивлением r был заряжен от источника с напряжением U током I. Какую максимальную полезную мощность можно получить от этого аккумулятора? 8. Проводник длиной l = 0,5 м и массой m = 0,2 кг лежит на горизонтальных рельсах. Если по проводнику пропустить ток I = 4,0 А, то он начинает двигаться в вертикальном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл. Какую минимальную силу надо приложить к проводнику, чтобы он начал двигаться, если такое же по величине магнитное поле будет направлено горизонтально вдоль рельсов? 9. Колебательный контур, состоящий из конденсатора и катушки индуктивности, резонирует на длине волны . Через какое время после начала колебаний энергия, выделяемая в катушке индуктивности, в 4 раза больше энергии, запасенной в конденсаторе? В первый момент конденсатор полностью заряжен. 10. На газету кладут прозрачную пластину толщиной Н, сделанную из материала, для которого угол полного внутреннего отражения равен . На каком расстоянии от верхней поверхности пластины будут видны буквы, если на них смотреть сверху? Публикацию подготовили Ю.Колмаков, Г.Померанцева

и укажите число его решений на промежутке 3. Решите неравенство 5x + 4 log x +1 log x+3 x+2
x +1

LM N

4

; 3 .

OP Q

1 x

.

4. Из всех прямоугольных параллелепипедов с периметром каждой боковой грани 6 найдите параллелепипед наибольшего объема. В ответе укажите объем. 5. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 ребро равно 2. Найдите расстояние от центра грани A1 B1C1 D1 до плоскости, проходящей через вершины В, D и C1 . 2 ( ) 1. В правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна а, вписан конус. Найдите объем конуса, если угол между ребром пирамиды и плоскостью основания равен . 2. Решите уравнение 2 sin x + sin 2 x = 2 . 3. Решите неравенство 0. x 4. Найдите сумму корней уравнения log
3 2 2

1 2x

x

3 lg x

= 100 .

5. Найдите угол, который образует с осью ординат каса3 25 x x тельная к кривой y = , проведенная в точке с 3 9 абсциссой x0 = 1 . 3 ( ) 1. Основание пирамиды равнобедренный треугольник с основанием 6 и высотой 9. Каждое боковое ребро равно 13. Найдите объем пирамиды. 2. Решите уравнение 1 tgx = 2 sin x . 1 ctgx 3. Решите неравенство x + 27 < x. 16 2 x


ВАРИАНТЫ

45
y = tg x

4. Решите уравнение

log 2 9 2

5. Составьте уравнение касательной к графику функции x 1 fx= 2 в точке с абсциссой x0 = 1 . x +1

e

x

j

10. Постройте график функции = 3 x.

b

g

1 sin x .

2

bg

11. Постройте график функции y=

c

x +1 x 1

h

2

1.

4 ( ) 1. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 4, 4, 2 2 . Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60њ. Найдите объем пирамиды. 2. Решите уравнение
3 3 sin x 1 + ctgx + cos x 1 + tgx = cos 2 x .

12. Постройте график функции y= 2
log 8 x
3

1 .

b

g

b

g

3. Решите неравенство 4 <2 4. Решите уравнение log
4 x +1 x x +1

+ 3. 7 = 0.

13. Разность цифр двузначного числа равна 3. Если цифры переставить, то получится число, составляющее 1,75 первоначального. Найдите исходное число. 14. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6. Двугранный угол между основанием и боковой o гранью равен 45 . Найдите объем пирамиды и площадь ее боковой поверхности. Задачи устного экзамена 1. Стрела выпущена вертикально вверх с начальной скоростью 39,2 м/с. Определите координату и скорость стрелы через 2 с. 2. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться вокруг Земли по круговой орбите на высоте 600 км над поверхностью Земли? Радиус Земли 6400 км, масса Земли 6 1024 кг. 3. Чтобы охладить 0,2 кг воды, взятой при 23 њС, до 8 њС, в нее бросают мелкие кусочки льда, имеющие температуру 0 њС. Какое количество льда потребуется для охлаждения воды? Удельная теплоемкость воды 4,2 кДж кг К , удель5 ная теплота плавления льда 3,3 10 Дж кг . 3 4. В комнате объемом 40 м при температуре 20 њС относительная влажность воздуха составила 20%. Какую массу воды нужно испарить для увеличения относительной влажности воздуха до 50%? Плотность насыщенного водяного -3 3 кг м . пара при 20 њС равна 17,3 10 5. Два одинаковых металлических шарика заряжены так, что заряд одного из них в 5 раз больше другого. Шарики привели в соприкосновение и раздвинули на прежнее расстояние. Во сколько раз (по модулю) изменилась сила взаимодействия шариков, если шарики были заряжены разноименно? 6. Источник с ЭДС 2,0 В и внутренним сопротивлением 0,8 Ом замкнут никелиновой проволокой длиной 2,1 м и 2 сечением 0,21 мм . Каково напряжение на зажимах источника? Удельное электрическое сопротивление никелина 2 042 Ом мм м . , 7. В магнитном поле с индукцией 0,02 Тл протон описал окружность, радиус которой 0,1 м. Найдите скорость протона. 8. Высота Солнца над горизонтом 40њ. Под каким углом к горизонту следует расположить плоское зеркало, чтобы солнечными лучами осветить дно вертикального колодца? 9. Свет какой частоты следует направить на поверхность платины, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была 3000 км/с? Работа выхода электронов из платины -18 10 Дж . Постоянная Планка 663 10 -34 Дж с , масса элек, -31 , кг . трона 91 10 10. Найдите энергию и импульс фотона для инфракрасных 8 12 лучей с частотой 10 Гц . Скорость света 3 10 м с , посто-34 , Дж с . янная Планка 663 10 Публикацию подготовили С.Жданов, Б.Кукушкин, Е.Пантелеева, М.Чистова,Г.Шадрин

7 + log

9x

5. Найдите максимумы функции fx=

bg

20 x x +1
2

.

Задачи устного экзамена ( ) 1. Решите уравнение 2 2 2. Решите неравенство
2

2 cos

t

sin

4 + 3t

= 7 8 cos

2

2 + t 2

.

b

g

4t 4t + 1 2 1 | t 1| . 3. Решите систему неравенств
2 x 1

c

h

4. Найдите все значения l, при которых неравенство 2lx + 2l + 10 x + 13l + 5 > 0 выполняется при всех х. 5. Вычислите 1 log 2 1 c cb 6. Вычислите log
2 2

RF 125 I F 9 I |G J G J |H 27 K H 25 K S | | x 3. T
2

x

2

< 06 , ,

1

b

g

3 log

b

cb

2 13

, если log

bc

cb

0,25

=

7 22

.

cos
2

30t 3

5 5 o 7. Найдите sin 4 x , если tg x 45 = 2 . 2 2 x x 8. Найдите 1 + 2 , где x1 , x2 корни уравнения x2 x1

sin

5 30t 3

cos

10t

cos

5 20t 2

sin

10t 5 .

+ 2 sin 5t cos 5t

e

j

2x + 4 x 1 = 0 . 9. При каких значениях l сумма кубов корней уравнения 2 x + x + l = 0 равна 25?

2