Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/55.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:35 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:06 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п

ОЛИМПИАДЫ

55



1. Вдоль правой стороны дороги припаркованы 100 машин. Среди них 30 красных, 20 желтых и 20 розовых мерседесов. Известно, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Докажите, что тогда какие-то три мерседеса, стоящие подряд, одного цвета. (7) К.Кохась 2. В лавке можно обменять шило на мыло, или 3 мыла на 1 шило, или 1 мыло на 4 шила (но не наоборот). После нескольких обменов у Сережи оказалось столько же шила и мыла, сколько было вначале. Докажите, что количество сделанных обменов делится на 16. (8) С.Иванов 3. Федя и Наташа стартуют с одного и того же места и равномерно движутся по прямой линии в одном направлении. Федя спокойно идет, а Наташа бежит. Пробежав 400 своих шагов, Наташа поворачивает обратно. В этот момент Федя начинает считать свои шаги и насчитывает до встречи с Наташей 100 (своих) шагов. Чьи шаги длиннее: идущего Феди или бегущей Наташи? (9) Ф.Назаров 4. Можно ли бумажный прямоугольник размера 103 Ч 49 разрезать 'по клеточкам' на несколько прямоугольников, каждый из которых имеет размеры 7 Ч 9 , 7 Ч 14 или 9 Ч 14 ? (10) Ф.Бахарев, С.Иванов 5. Вещественные числа a1 , a2 , K , a16 расставлены по кругу. При этом сумма любых трех стоящих подряд чисел не меньше 2, а сумма любых пяти стоящих подряд чисел не превосходит 4. Какое наибольшее значение может принимать разность a1 - a2 ? (Не забудьте привести пример, когда эта разность достигает наибольшего значения.) (11) Е.Сопкина
В скобках после условия задачи указан класс, в котором она предлагалась.


6. На одной стороне улицы разбитых фонарей стояло 150 фонарей, причем среди любых трех фонарей, стоявших подряд, хотя бы один был разбит. После того как электрик Петров починил несколько фонарей, среди любых четырех фонарей, стоявших подряд, осталось не более одного разбитого. Докажите, что электрик починил не менее 25 фонарей. (6) К.Кохась 7. На Васиной чаше двухчашечных весов лежат гири массами 1 г, 3 г,... ..., 2001 г, на Петиной чаше 2 г, 4 г, ..., 2000 г. Первым ходит Вася он убирает по одной гире со своей чаши до тех пор, пока она не станет легче Петиной. Потом Петя убирает по одной гире со своей чаши до тех пор, пока она не станет легче Васиной. Затем опять ходит Вася, потом Петя, и так далее. Выигрывает тот, кто первым сможет убрать все гири со своей чаши. Кто выигрывает при правильной игре? (6) Ю.Лифшиц 8. Шестизначное число, делящееся на 9, умножили на 111111. Докажите, что десятичная запись произведения содержит хотя бы одну девятку. (7) А.Храбров 9. Клетки черно-белой доски 12 Ч 12 раскрашены в шахматном порядке. Разрешается взять любые две соседние по стороне клетки и перекрасить их: черные клетки в зеленый цвет, зеленые в белый, белые в черный. Какое наименьшее число таких операций потребуется, чтобы получить 'противоположную' бело-черную шахматную раскраску? (7) К.Кохась 10. Натуральные числа u и v таковы, что для любого натурального k числа ku + 2 и kv + 3 имеют общий натуральный делитель, больший 1. Чему может быть равно отношение u/v? (8) А.Голованов, Д.Карпов, А.Пастор 11. Колоду карточек с числами от 1 до 78 дают зрителю. Тот ее перемеши-

вает, отбирает 40 карточек, отдает их первому фокуснику, а остальные оставляет себе. Первый фокусник выбирает из полученных карточек две и возвращает их зрителю. Зритель добавляет к этим карточкам одну карточку из своих тридцати восьми и, перемешав, отдает эти три карточки второму фокуснику. Второй фокусник показывает, какая из карточек была добавлена зрителем. Объясните, как может быть показан такой фокус. (8) К.Кохась 12. Все клетки доски 10 Ч 10 покрашены в белый цвет. Федя и Юра по очереди (начинает Федя) перекрашивают по одной белой клетке в черный цвет. Проигрывает тот, после чьего хода на доске не останется двух соседних по стороне белых клеток. Кто выигрывает при правильной игре? (9) А.Храбров 13. В выпуклом пятиугольнике ABCDE AB = BC , CD = DE и o A = C = E < 90 . Докажите, что этот пятиугольник описанный. (9) Ф.Бахарев 14. Точки A1 , B1 и C1 середины сторон ВС, СА и АВ треугольника АВС. На средних линиях C1 B1 и A1 B1 отмечены точки Е и F соответственно так, что прямая ВЕ содержит биссектрису угла AEB1 , а прямая BF биссектрису угла CFB1 . Докажите, что биссектрисы углов АВС и FBE совпадают. (9) Ф.Бахарев 15. На биссектрисе AL треугольника АВС выбрана точка K , причем o BKL = KBL = 30 . Прямые АВ и CK пересекаются в точке М, а прямые АС и BK в точке N. Найдите угол AMN. (10) Д.Ширяев, С.Берлов 16. В парламенте страны Альтернативии для любых двух депутатов найдется третий, знакомый ровно с одним из них. Каждый депутат состоит в одной из двух правящих партий. Ежедневно президент приказывает некото-