Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/43.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:34 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:25 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

43
Ответ: 1; 113 / 49 . Рассмотрим еще уравнение с параметром. Пример 8. Решите уравнение 2x - 1 - x - 2 = a.

квадрат, x - 92 x + 180 = 0 .
2

(2)

Возводить в квадрат число 46 без калькулятора занятие довольно неприятное. Поэтому попробуем угадать корень. Легко понять (просто перебирая первые квадраты: 1, 4, 9, 16, 25... и приравнивая им двучлен 7 x - 5 'наименьший' из подкоренных выражений), что x1 = 2 удовлетворяет уравнению (1), а значит и (2). По теореме Виета второй корень уравнения (2) это x2 = 90 , причем оба корня удовлетворяют второму, а следовательно, и исходному уравнению. Замечание. Вообще в случаях, когда корни, получаемые в результате последовательных возведений в квадрат, достаточно простые (например, целые), можно не заботиться о равносильности переходов и в конце решения просто проверить их прямой подстановкой. В более сложных случаях, когда прямая проверка затруднена, приходится тщательно следить за возможностью появления посторонних корней. Пример 5. Решите уравнение 3x - 1 - x - 2 = 3.

числяем корень исходного уравнения: 17 + 3 17 2 x = t + 2 = 3t + 4 = 2 (мы опять воспользовались уравнением (3), для корней которого верно, что 2 t + 2 = 3t + 4 ). 17 + 3 17 Ответ: . 2 Вообще же подстановка вида t = ax + b 0 часто упрощает решение уравнений вида ax + b + cx + d = e . После замены получаем уравнение вида 2 kt + n = mt + p . Существенно здесь то, что при решении квадратного уравнения At + Bt + C = 0 , к которому приходим после однократного возведения последнего уравнения в квадрат, приходится выявлять лишь неотрицательные корни, что также достаточно просто. Рассмотрим теперь два уравнения с 'двухэтажными радикалами'. Пример 6. Решите уравнение 2- x +1 + 2 + x +1 = 2 x .
2

Решение. ОДЗ исходного уравнения: x 2 . При этом 2 x - 1 - - x - 2 = x + 1 > 0 , т.е. левая часть исходного уравнения положительна, поэтому a 0 . Пусть t = x - 2 0 . 2 Тогда x = t + 2 , и уравнение приводится к виду

>

C

>

C

2t + 3 = a + t . Возведем в квадрат и упростим: t - 2at + 3 - a = 0 .
2 2

2

(4)

Условие разрешимости этого уравнения дает D 2 = 2a - 3 0 , 4 т.е. (учитывая, что a > 0) a 3 / 2 , при этом t1,2 = a + 2a - 3 . При a = 3 / 2 уравнение (4) имеет один корень t = 3 / 2 , a x = 3 / 2 + + 2 = 7 / 2. 3 / 2 < a 3 , свободный Если член уравнения (4) неотрицателен и, следовательно, оба его корня неотрицательны (ведь t1 + t2 = 2000 ). Для них x1,2 = t1,2 + 2 = 3a - 1 + 2a 2a - 3 . Если же a > 3 , годится только неотрицательный корень (с плюсом), т.е. тогда x = 3 a - 1 + 2a 2a - 3 . Ответ: корней нет при a < x = 7 / 2 при a =
2 2 2 2 2 2 2

Первое решение. Переписываем уравнение так:
3x - 1 = 3 + x - 2.

Решение. Возведя уравнение в квадрат и приведя подобные члены, получаем простейшее уравнение 3 - x = 2 x -1 , решая которое, приходим к ответу. 7 + 33 . Ответ: 8 Пример 7. Решите уравнение

Возводим в квадрат и упрощаем: 3 x - 2 = x - 4. Повторное возведение в квадрат дает уравнение x - 17 x + 34 = 0 с корнями x1,2 = 17 + 3 17
2

>

C

x + x -1 + x - 2 x -1 = 2 .
Решение. Пусть t = x - 1 0 . Тог2 да x = t + 1, и уравнение принимает вид

2 Неравенству x 4 удовлетворяет лишь 17 + 3 17 x= . (Можно подставить 2 2 x = 4 в трехчлен x - 17 x + 34 см. конец решения примера 3.) Второе решение. Выполним замену 2 t = x - 2 0 , откуда x = t + 2 . Приводим уравнение к виду 3t + 5 = 3 + t . После возведения в квадрат и упрощений получаем t2 - 3t - 2 = 0 , откуда t1 = t2 = 3 - 17 2 3 + 17 2 (3)
2

.

3/2 ;

3/2;
2

t + t + 1 + t - 2t + 1 = 2 .
2 2

x1,2 = 3a - 1 + 2a 2a - 3 при 3/2 < a x = 3a - 1 + 2a 2a - 3 при a>
Упражнения 2. Решите уравнения а) б)
8x + 1 - x - 2 = 4 ; 3x + 2 -
2

Заметив, что под вторым знаком ради2 кала стоит t - 1 , получаем t + t +1 = 2 - t -1. При 0 t < 1 имеем
2 t + t +1 = 1 + t, 2

>C

3;
3.

2

2

откуда При t 1 приходим к уравнению t + t + 1 = 3 - t, единственный корень которого t = 8 / 7 удовлетворяет условию t 1 . Итак, x2 = 1 + 64 / 49 = 113 / 49 .
2

t = 0, а x1 = 1 .

x - 1 = 2;

в) 2x2 + 2 x - 4 x + 12 = 4 x + 8 ; г) д) е)
= 20 + x x
2

+

20 - x x
2

=

6;

(второй корень

3x + 4 +

x-4 =2 x;

отрицателен). Теперь вы-

x +x+
2

x +x+5 =

2 x + 2 x + 17 ;