Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/41.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:34 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:24:03 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: принцип мопертюи

ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

41
где = 0t , 0 = 2 T , Т период (хотите верьте, хотите проверьте подстановкой). Таким образом, в принятых предположениях частица движется по так называемой логарифмической спирали. (Один Студент, забыв слово 'спираль', назвал ее 'окружностью переменного радиуса'.) Для тех, кто хочет провести вычисления, разумеется, важно знать, что такое . Сила сопротивления для шаровой частицы (сила Стокса) равна Fсопр = 6 a v - V , где а радиус шарика, а вязкость, которую можно найти в справочниках (не забудьте обратить внимание на систему единиц). Тогда = 1 = 2 a
2

Сейчас нам это понадобится, чтобы найти малое изменение скорости капельки: v = v r e r + = vr e


FG H



FG H



r

= er vr + vr er + e v + v e = = er vr + vr e + e v - v er. Мы уже подставили сюда выражения для er и e . А теперь, чтобы получить вектор ускорения, разделим все на t и сгруппируем слагаемые при единичных векторах er и e : v t




I v e J = K IJ + FG v e IJ KH K


=


=e

r

FG H

v

r

t

-v




t


+e

Ясно, что в скобках получились проекции ускорения капельки в принятой нами вращающейся системе координат. Посмотрим на них внимательнее. Что такое t ? Это же угловая скорость v r ! Использовав этот замечательный факт и приравняв радиальную и тангенциальную составляющие ускорения капельки соответствующим составляющим силы сопротивления, деленным на массу, получим v v
r

IJ K F GH

радиальная составляющая скорости несущего газа равна нулю, а тангенциальная составляющая V r есть произвольная функция радиуса. Такое движение можно, например, осуществить в цилиндрической трубе. А теперь, считая, что капелька очень мала и, значит, быстро 'привыкает' к локальным условиям обтекания ее несущей средой, приравняем нулю левые части этих уравнений, т.е. будем рассматривать безынерционное, ползущее движение капельки, аналогичное движению шарика в глицерине. Тогда получим алгебраическую систему уравнений для определения локально установившихся составляющих скорости капельки во вращающейся системе координат:

bg

b

g

+ v


v

2

r +v
r

-

v

r



= 0,

v - V

+

vr v r



= 0.

9

,

t

t

I JK

.

t


=

v

2

r


- vr - 0 , - v - V .

c

h

t

=-

vr v r

e

j

Чтобы не возиться с точным решением этой системы уравнений, используем физические соображения. Интуитивно ясно, что очень малые частицы будут двигаться по окружности почти с той же скоростью, что и несущая среда: v V . Это значит, что частица должна сделать много оборотов вокруг оси при незначительном смещении по радиусу, т.е. vr? v V . Принимая значение v = V в качестве первого приближения, из первого уравнения получим 2 vr = V . r В частном случае V = 0 r (несущая среда вращается с постоянной угловой скоростью 0 как твердое тело) найдем vr = 0 r . Учитывая, что vr = r t , решим полученное уравнение (с начальным условием r = r0 при t = 0) на 'большом' времени ( t @ ): r = r0 e
0 t
2

где плотность материала частицы. Например, для случая капельки воды a= ( = 10 3 кг м 3 ) радиусом -6 = 1 мкм = 10 м в воздухе ( -5 2 10 кг м с ) получим

bg

;10

-5

c.

Сравним это время, например, со временем одного оборота при закрутке воздуха с такими капельками в трубке радиусом r0 = 1 см с линейной скоростью V = 100 м с . Время одного оборота равно T= 2 r0 V = 2 10
-4

c,

2

Тут в первом слагаемом правой части первого уравнения легко узнать центробежное ускорение, а коэффициент во втором слагаемом можно представить в виде = 1 (хотя бы из соображений размерностей). Кроме того, мы рассматриваем случай, когда

что в шестьдесят раз больше , так что наши предположения о квазиравновесном движении капельки верны. Отметим, что при этих условиях капелька имеет чудовищное центробежное ускорение: V r0 ;10
2 6

м с = 10 g !

2

5

= r0 e

0

= r0 e

2

T



,

Итак, вращайте воздух в кондиционерах и вы избавитесь от пыли, капель и микробов.

! 2001 , , '' ( ) .
: 117296 , , 64 : 930 56 48, 930 56 41