Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/11.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:32 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:58 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 35

ТРИ

ТЕОРЕМЫ

О

ВЫПУКЛЫХ

МНОГОГРАННИКАХ

11

равна 2 , вершины правильного тетраэдра , октаэдра 2 3 . Сумма кривизн всех вершин (v) многогранника M называется кривизной многогранника. Декарт доказал следующую теорему 3 . Теорема Декарта. Кривизна (M) любого выпуклого многогранника M равна 4 . Легко проверить, что (M) = 4 для куба или правильного тетраэдра. Чтобы лучше понять, почему кривизна любого многогранника равна 4 , полезно подсчитать кривизну произвольного тетраэдра. Значение кривизны многогранника выводится из утверждения 4) в одну строчку:
(M) =
v M v M



.6



(v) =

=

v M



2

v M



v M

?2

(v) =

D

(v) = B 2 - S = 4 .

Как отмечал Эйлер в одной из своих работ, многоугольники на плоскости можно классифицировать по числу сторон (или, что все равно, по числу вершин): треугольники, четырехугольники и т.д., в то время как аналогичный вопрос описания многогранников оказывается гораздо сложнее. Теорема Эйлера помогает немного разобраться в этом вопросе. Например, из теоремы Эйлера нетрудно вывести, что если все грани выпуклого многогранника суть треугольники, причем в некоторых вершинах они сходятся по шесть, а во всех остальных по пять граней, то вершин, в которых сходятся пять граней, будет ровно двенадцать. Естественно спросить, а сколько при этом у многогранника вершин, в которых встречается шесть многоугольников. Канадский математик Бранко Грюнбаум обнаружил, что при тех же предположениях число вершин, в которых встречается шесть треугольных граней, может быть любым, кроме единицы.

ходится в трактате Платона (427 347 до н.э.) 'Тимаус'. Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из правильных многогранников, а всего их пять (рис.6), Платон ассоциировал с четырьмя 'земными' элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с 'неземным' элементом небом (додекаэдр). Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер. Имеется несколько эквивалентных определений правильных многогранников. Одно из них звучит так: многогранник называется правильным, если существуют три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины (определение А). Это определение напоминает одно из возможных определений правильного многоугольника: многоугольник называется правильным, если он вписан в некоторую окружность и описан около другой окружности, причем эти окружности концентричны. Мы воспользуемся другим определением: правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого суть одинаковые правильные многоугольники и все двугранные углы попарно равны (определение В).
Упражнения 4. Докажите эквивалентность определений А и В. 5. Покажите, что в случае правильного многогранника требование существования лишь двух сфер, вписанной и описанной, и их концентричности недостаточно (постройте пример неправильного многогранника, для которого существуют концентрические вписанная и описанная сферы).

Обратим внимание на замечательное обстоятельство. Если правильные многоугольники существуют с любым числом сторон n 3, то правильных многогранников (с точностью до подобия) всего пять и число граней у них равно 4, 6, 8, 12 или 20. Докажем это. Обозначим через p число сторон у грани правильного многогранника. Так как двугранные углы равны, то все пространственные углы в правильном многограннике также равны. Поэтому в каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число граней, которое мы обозначим через q. Используя правильность граней и равенство двугранных углов, древние греки легко получили, что для правильных многогранников пары целых чисел (p, q) могут быть лишь такими: (3, 3), (4, 3), (3, 4), (3, 5), (5, 3). Однако благодаря теореме Эйлера мы можем получить те же пять пар чисел не только для правильных многоугольников, но и вообще для произвольных выпуклых многогранников, у которых каждая грань имеет одинаковое число p сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число q граней. Действительно, так как каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а каждая грань имеет ровно p ребер, то p Г равно удвоенному числу ребер в многограннике: p Г = =2P. Поскольку каждое ребро имеет ровно два конца, а в каждой вершине сходится ровно q ребер, то q B = 2P. Итак, мы имеем . (4) q Подставим соотношения (4) в формулу Эйлера:
p 2P q + 2P p = P + 2. Г= 2P


Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках на3 Вообще говоря, теорема о кривизне многогранника справедлива не только для выпуклых многогранников, но и для невыпуклых многогранников, гомеоморфных сфере.
3*

и B=

2P

(5)

Найдем P из (5):
P= 2 p + q - pq

>

2 pq

C

.

(6)