Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/19.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:33 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:08 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 106

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

19

нены легким жестким стержнем. В положении равновесия нити вертикальны. Определите период малых колебаний системы в плоскости рисунка. Р.Компанеец

1802. Фотографию Буратино вид спереди, расстояние до аппарата 1 м делают при помощи простого фотоаппарата с фокусным расстоянием объектива 5 см. На фотографии глаза оказались точно 'в фокусе', а вот кончик носа получился размытым. До какого диаметра нужно задиафрагмировать объектив, чтобы сделать четкой всю фотографию? У Буратино нос 'морковкой', он перпендикулярен плоскости лица и имеет длину 30 см. На упаковке пленки загадочная надпись: '400 линий на миллиметр'. Р.Александров

поэтому она не превосходит 14 10k . Следовательно, , , меньшая из координат не превосходит 07 10k , т.е. меньше, чем у ферзя. А из этого уже следует утверждение задачи. Так как король невидим для ферзя, то игра остановится по знаку судьи, когда он увидит, что шах произошел. А.Шаповалов

1766--1770, 1778-1787
1766. На бесконечной шахматной доске находятся
ферзь и невидимый король, которому запрещено ходить по диагонали. Они ходят по очереди. Может ли ферзь ходить так, чтобы король рано или поздно наверняка попал под шах?

Ответ: может. Вот один из способов движения ферзя делать все ходы на одну клетку по диагонали, двигаясь при этом по такой разворачивающейся спирали: 1 ход вправо-вверх, затем 10 ходов вправо-вниз, 100 ходов влево-вниз, 1000 ходов влево-вверх, 10000 ходов вправовверх и т.д. Докажем, что где бы ни был король вначале, рано или поздно ферзь окажется с ним на одной горизонтали или вертикали. Введем прямоугольную систему координат с единицей, равной стороне клетки. Расположим оси так, чтобы все центры клеток имели целые координаты (координаты центра будем называть координатами клетки), ферзь стоял в начале координат, а король оказался в некоторой точке (х, у) с обеими положительными координатами. Заметим, что каждым ходом каждая из координат фигур меняется не более чем на 1. Обе координаты ферзя вначале меньше соответствующих координат короля. Если в какой-то момент хотя бы одна из координат ферзя станет больше, чем у короля, то (по принципу дискретной непрерывности) эти координаты в какой-то промежуточный момент были равны, т.е. король и ферзь стояли на одной горизонтали или вертикали, и король был под шахом. Скажем, что ферзь сделал ход в правильном направлении, если обе его координаты увеличились. (Из каждых четырех серий ходов подряд ферзь одну серию делает в правильном направлении, сам того не подозревая.) Оценим координаты ферзя и короля после того, как ферзь сделает серию из 10k ходов в правильном направлении, k где 10 > 5 x + y . Всего к этому моменту ферзь сделает k n = 10 + 11K11 ходов, и так как 11K11 < 0,2 10k , то 12 3 12 3

1767. Внутри квадрата ABCD расположены точки Р и Q так, что PAQ = PCQ = 45њ. Докажите, что PQ2 = 2 = BP + QD2 (рис.1). B C Симметрично отразим APB относительно пряP "# мой АР, а AQD относительно прямой AQ . При этом отраженные точки В и D 'склеятся' в одну точку М (рис.2). Затем симметрично отQ разим CPB относитель"# но прямой СР, а треD угольник CQD отно- A сительно прямой CQ . .1 При этом отраженные B C точки В и D 'склеятся' в одну точку N. P Заметим, что PMQ + M + QNP = 180o , но так как треугольники PMQ и QNP равны, то PMQ = QNP , т.е. Q PMQ = 90o . Значит, треугольник PMQ прямоугольный и 2 2 2 D PM + QM = PQ . Но A .2 PM = BP, а QM = QD, поэтому окончательно можно утверждать, что 2 2 2 PB + QD = PQ . В.Произволов 1768. а) Расположите числа 1, 2, 3, , 100 в строку
в таком порядке, чтобы для любых нескольких (но не всех) из этих чисел сумма номеров занятых ими мест не совпадала с суммой самих этих чисел. б*) При посадке в аэробус пассажиры сели кто куда захотел. В итоге все места оказались заняты, а для любой группы, в которой не более ста пассажиров, среднее арифметическое номеров занимаемых ими мест более чем на единицу отличается от среднего арифметического номеров мест, указанных в их билетах. Каково наименьшее возможное число мест в этом аэробусе?

>

C

k n < 12 10 . Даже если все ходы до этой серии уменьшали , его координаты, все равно обе координаты будут больше k k 1 - 0,2 10 = 0,8 10 . Сумма координат короля вначале k , была x + y < 02 10 . Каждым ходом король меняет эту сумму ровно на 1 (ходов по диагонали нет!). За n ходов сумма его координат увеличилась не более чем на n,

k

k

>

C

а) Укажем два способа: 100, 1, 2, ..., 97, 98, 99 и 2, 3, 4, ..., 99, 100, 1. Каждый из них дает требуемое расположение чисел, в чем легко непосредственно убедиться. б) Ответ: 301 место. Каждый пассажир включен в один из циклов вида PP2 K Pm , где P , P2 , K, Pm некоторые пассажиры, при1 1 чем Pi -й пассажир (i = 1, 2, ..., m 1) имеет билет на место, которое занимает Pi +1 -й пассажир, а Pm -й пассажир на место, которое занимает P -й пассажир. Если в таком 1 цикле 100 пассажиров или менее, то все они могли составить одну рассматриваемую группу, для которой

5*