Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/kv0501mojayev.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:35 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:35:51 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 16

Заметим, что функция f x возрастающая, и докажем, что уравнение (5) равносильно уравнению f x = x.

bg

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

45
существует) меньше правой. Ответ: 1. И наконец. еще один пример, в решении которого мы воспользуемся свойством суммы двух взаимно обрат1 ных положительных чисел: a + 2 , a причем равенство достигается лишь при а = 1. Пример 16. Решите уравнение 2x - 1 x - x +1
2

bg

(6)

(5), причем f x fx >

Ддя этого заметим, что всякий корень уравнения (6) есть корень уравнения (5). Пусть x 0 корень уравнения

Решение. В области определения данного уравнения должны одновременно выполняться неравенства 2 4 - x 0 и x 2 , что возможно только при x = 2. Проверкой убеждаемся, что это корень. Ответ: 2.
Упражнение 6. Решите уравнения а) б) = 4.
x 2 - 3x + 2 + 2 4 - x 2 + 1 = x -1;
2 2

< x 0 , но в этом случае x 0 = f

c h> f cx h
0 0

x 0 , но при этом f f ( x0 ) = x 0 > , противоречие; либо f x

ch
0

x

0

c

. Тогда либо

< f x0 , т.е. x 0 < f x 0 , что также невозможно. Утверждение доказано. Чтобы завершить решение, достаточно решить уравнение x = 1 + x . 1+ 5 . Ответ: 2
Упражнение 5. Решите уравнения а)
15x + 4 + x + 1 = 9 ;

ch

ch

ch e f c x hj
0 0

h

< <

2-

x+

x - x - 2 + 3x + 4 =

+

x - x +1 2x - 1
2

2

=

4x - x . > 0.

2

Здесь мы тоже разберем достаточно характерные примеры. Пример 15. Решите уравнение 3 - x + x + 5 - x2 = 5 + 2 x . Решение. Перепишем уравнение: 3-x + Пусть t =
2

Решение. Пусть t =

2x - 1 x - x +1

1 Левая часть уравнения, равная t + , t больше или равно 2:

x + 5 = x + 2x + 5 .
x + 5 . Тогда
2

2

1 2, t а правая часть не больше 2: t+
4x - x =
2

б) x в)

FH

x + 3x + 5 + x = 5 - x ;
2 2 2

IK

3-x +

4- x-2

b

g

2

2.

x + 2x + 6 +
2

x + 3 = 6 - x;

t = 8 + 2 15 - 2 x - x . Наибольшее значение подкоренного выражения достигается при x = -1 (в вершине параболы y = 15 - 2x - x2 ). 2 При этом t = 16 . Отсюда следует, что t 4 . Наименьшее значение правой части исходного уравнения достигается также при x = -1 и тоже равно 4. При x -1 левая часть (когда она

г) x - 3 3 x + 1 = 1.

Поэтому равенство возможно только при x = 2. Проверкой убеждаемся, что x = 2 корень. Ответ: 2.
Упражнение 7. Решите уравнения а) 3x 2 + 6 x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = = 4 - 2x - x 2 ; б)
x - 1 + 3 - x = x - 4x + 6 .
2

На следующем примере мы рассмотрим еще один класс задач. Пример 14. Решите уравнение 4 - x2 + x - 2 = x + 7 - 4x + 1 .


.



задачи, в которых проявляются либо корпускулярные, либо волновые свойства света. Действительно, в таких оптических явлениях, как излучение или поглощение света веществом, фотоэлектрический эффект или эффект Комптона, проявляются корпускулярные свойства света. В этих случаях свет ведет себя как поток световых частиц фотонов, обладающих

ЭТОЙ СТАТЬЕ МЫ РАССМОТРИМ

энергией Е и импульсом p = E/c (где с скорость света). А вот такие оптические явления, как интерференция или дифракция, явно свидетельствуют в пользу волновых представлений, когда свет ведет себя как электромагнитная волна с частотой и длиной волны = c . Отметим, что известные соотношения E = h и p = h c (где h постоянная Планка) как раз и связывают волновые и корпускуляр-

ные свойства света: правые части равенств содержат типичную для волновых представлений величину , а левые характерные для потока частиц величины Е и р. А теперь несколько конкретных задач. Задача 1. Рубиновый лазер, работающий в импульсном режиме с дли-4 тельностью импульса = 5 10 с, излучает параллельный пучок света с энергией Е = 1 Дж. Определите силу светового давления на шарик, освещаемый этим светом, если диаметр шарика равен (или больше) диаметру лазерного пучка, а поверхность шарика полностью поглощает падающее на нее излучение. До поглощения лазерного излучения импульс шарика был равен нулю: p1 = 0 . После поглощения фотонов за время шарик приобрел импульс p2 = E c . Сила F, которая подействовала на шарик со стороны фотонов, равна F= p p2 - p1 E , = = = 67 10 c
-6

H.


46
Заметим, что, давление света одно из немногих оптических явлений, которое одинаково хорошо объясняется и корпускулярными, и волновыми представлениями о свете. Задача 2. На плоскую поверхность тонкой плосковыпуклой линзы нанесено абсолютно отражающее покрытие. На выпуклую поверхность этой линзы падает узкий пучок импульсного лазерного излучения с энергией Е = = 4 Дж и длительностью импульса = 104 c . Падающий пучок распространяется параллельно главной оптической оси линзы на расстоянии h = F 2 3 от оси, где F фокусное расстояние линзы. Найдите величину средней силы, действующей на линзу со стороны света, если половина энергии лазерного излучения поглощается в линзе. Отражением от поверхности линзы без покрытия пренебречь. Параллельный главной оптической оси пучок света проходит линзу, затем отражается от зеркального покрытия и снова проходит линзу. С помощью формулы линзы и законов отражения света от плоского зеркала легко показать, что выходящий из линзы пучок пересекает главную оптическую ось линзы на расстоянии F/2 от линзы, образуя с осью угол = 30њ. Абсолютная величина суммарного импульса фотонов, падающих на линзу, равна p1 = E c , а импульс пучка на выходе из линзы равен p2 = E 2c . На рисунке 1 изображена векторная диаграмма, Сила, равная ей по величине, но направленная в противоположную сторону, будет средней силой, которая действует на линзу со стороны фотонов. Задача 3. При некотором минимальном значении задерживающей разности потенциалов на вакуумном фотоэлементе фототок в цепи прекращается, когда поверхность катода освещается светом с некоторой (неизвестной) длиной волны 0 . Если изменить длину волны света в = = 2 раза, то для прекращения фототока необходимо увеличить задерживающую разность потенциалов в = = 3 раза. Определите 0 , если известно, что работа выхода для материала катода равна А = 1,89 эВ. Посто-34 янная Планка h = 6,6 10 Дж с , -19 Кл . заряд электрона e = 1,6 10 Фототок прекращается, когда самые быстрые фотоэлектроны их кинетическая энергия равна hc - A , а скорость направлена перпендикулярно поверхности катода при данной задерживающей разности потенциалов Uз уже не могут долететь до анода. В аналитической форме это условие имеет вид hc eUз - A. Наши два случая сводятся к таким двум уравнениям: hc eUз0 = - A, 0 eU

. 1
з0

S

F
. 3

L

bg

=

hc
0

F F


F



- A.

Из совместного решения этих уравнений находим 0 =

на которой построен вектор изменения импульса фотонов после прохождения линзы: p = p2 - p1 . Изменение импульса фотонов по абсолютной величине равно p = = p1 + p2 + 2 p1 p2 cos = E c
2 2 2

b - ghc b - 1g A

=

hc 2A

, = 033 мкм
-19

Дж ). (мы учли, что 1 эВ = 1,6 10 Задача 4. Из тонкой линзы диаметром D = 2,5 см с фокусным расстоянием F = 50 см вырезали центральную полоску шириной а = 0,5 см (рис.2), после чего обе половинки линзы сдви-

2

+

E

2 2

4c

+2

E c

=

E 2c E



3 2

=

2c

5 + 2 3.

a O D

Средняя сила, которая подействовала на фотоны, равна Fф = p E 5 + 2 3 = 19 104 H. , 2 c

. 2

нули до соприкосновения такую систему называют билинзой. Точечный источник света S с длиной волны = 500 нм расположен на оси системы в фокальной плоскости линзы (рис.3). На каком расстоянии L от билинзы следует расположить экран, чтобы на нем можно было наблюдать максимально возможное число интерференционных полос? Определите ширину x интерференционных полос и их число. Определите также допустимую немонохроматичность источника света в этой интерференционной схеме, необходимую для наблюдения всех интерференционных полос. После прохождения каждой части линзы свет выйдет в виде параллельного пучка под некоторым углом к горизонту. На рисунке 4 показан ход лучей, прошедших через верхний сегмент линзы. Оптический центр О (см. рис.2) исходной линзы является оптическим центром O для верхнего сегмента линзы. Поэтому по выходе из линзы пучок света пойдет под углом = arctg a 2 F = a 2 F (угол мал). Параллельный пучок света, выходящий из нижнего сегмента линзы (на рисунке 6 этот сегмент не нарисован), идет под углом = . Эти два параллельных пучка света когерентны, поскольку они получены от одного источника. Интерференционная картина будет иметь место в той части экрана, где будет происходить перекрытие пучков. Интерференционные полосы на экране будут расположены горизонтально и перпендикулярно плоскости рисунка. Ширина интерференционных полос (т.е. расстояние между соседними максимумами) не зависит от расстояния экрана до билинзы и определяется только углом сходимости интерферирующих пучков и длиной волны света (см. 'Квант', 2000, ?6, с.31). Для данной оптической схемы = 2 и ширина интерференционных полос F x = = = = 50 мкм . 2 a

c b gh

bg


ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

47
рим максимум интерференционной картины m-го порядка. Он образован двумя идентичными цугами, расстояние между которыми равно m . Если это расстояние больше или равно длине цуга (в этом случае цуги не перекрываются), то интерференции нет, а имеет место простое сложение интенсивностей обоих цугов. Приравнивая разность хода и длину цуга, получим
mmax = 2 ,иm
max

S F
. 4



a

O

L

Максимально возможное число интерференционных полос будет наблюдаться на экране в тот момент, когда экран расположен в области максимального перекрытия пучков, как это и изображено на рисунке 4. Из геометрических соображений следует, что L=

b

D-a 4tg a

gb
b

D-a F 2a

g

= 1 м.

Тогда максимальное число интерференционных полос равно N
max

от нулевого максимума до максимума m-го порядка (в нашем случае m = = 6). Черным цветом нарисовано распределение интенсивности для длины волны , а красным цветом показаны положения максимумов для длины волны + . По мере увеличения m максимум для + все больше отходит от максимума для , и, наконец, при некотором m максимум интенсивности m-го порядка для длины волны + совпадает с максимумом m + 1 -го порядка для длины волны . Учитывая, что между этими максимумами расположены максимумы других длин волн (от до + ), очевидно, что при данном m интерференционная картина будет полностью размыта. То значение m, при котором интерференционная картина пропадает, можно найти из условия

=



.

b

g

Наблюдаемый максимальный интерференционный порядок в интерференционной картине позволяет оценить длину цуга: l = c = mmax . Упражнения 1. Катод вакуумного фотоэлемента облучается световым пучком с длиной волны = 0,5 мкм и мощностью W = = 1 Вт. При больших ускоряющих напряжениях между катодом и анодом фототок достигает насыщения (все электроны, выбитые с поверхности катода в единицу времени, достигают анода). При этом ток насыщения равен Iн = 4 мА. Какое количество n фотонов приходится на один фотоэлектрон? Заряд электрона -19 , Кл , постоянная Планка e = 16 10
Дж с . 2. Найдите изменение длины волны света, излучаемого неподвижным атомом водорода вследствие отдачи, которую испытывает ядро атома со стороны вылетевшего кванта света. Указание: учесть, что энергия ионизации атома водорода много меньше энергии покоя протона. 3. Источник света S расположен на расстоянии L = 1 м от тонкой слюдяной пластинки толщиной Н = 0,1 мм с показателем преломления n = 1,4 (рис.6). На таком же расстоянии от пластинки расположен небольшой экран Э, ориентированный перпендикулярно отраженным h = 6,6 10
-34

=

D-a a 2F

g

m + = m + 1 , откуда . Это означает, что, если мы хотим наблюдать интерференционные полосы вплоть до m-го порядка, степень немонохроматичности должна быть не хуже чем m . Допустимая немонохроматичность источника света в нашей задаче составляет m= = m
max

b

gb

g

= 200 .

Поскольку интерференционная картина симметрична относительно горизонтальной оси, то крайние интерференционные полосы будут иметь максимальный порядок интерференции mmax = Nmax 2 = 100 . Если источник света S квазимонохроматический, то мы будем отчетливо наблюдать на экране все интерференционные полосы. Но если источник света не монохроматический и его спектральный состав включает в себя длины волн в интервале от до + , то это приводит к ограничению количества наблюдаемых полос. Попробуем разобраться, какое влияние оказывает на интерференционную картину немонохроматичность интерферирующих пучков света. Мы знаем, что ширина интерференционных полос пропорциональна длине волны интерферирующих лучей. Следовательно, в случае света, состоящего из набора различных длин волн от до + , мы будем иметь наложение интерференционных картин с разными ширинами интерференционных полос. На рисунке 5 изображено распределение интенсивности в интерференционной картине

= 5 нм .

К вопросу о влиянии немонохроматичности излучения на интерференционную картину можно подойти с другой стороны. Идеальных гармонических колебаний, которые длятся бесконечно долго, в природе не существует. В реальных колебательных системах время рождения фотонов мало, но оно конечно. Например, время излучения фотона возбужденным атомом составляет примерно 10-8 с. Тогда длина излучаемого цуга (участка гармонических колебаний) составляет 3 м. В радиофизике устанавливается связь между временем излучения цуга и степенью немонохроматичности такого излучения :
c
2

S L H
. 6

Э

;1 ,

I

где средняя длина волны. Второй сомножитель есть не что иное как разброс по частоте:
= c

, = -

c
2

.

лучам, на котором наблюдаются интерференционные полосы. Угол = 60њ. Найдите порядок m интерференционной полосы в центре экрана и ширину интерференционных полос. Оцените также допустимую немонохроматичность источника. Используется зеленый свет с длиной волны = 560 нм.


. 5



!

"

#

$m

Следовательно, если степень немонохроматичности света , то 2 длина цуга l = c = . Рассмот-