Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/63.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:52 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:48 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

63
(см. 'Квант' ?2)

LOA = AOM. Следовательно, поляры точек L и M образуют равные углы с полярой точки A (обдумайте это!). Вспомнив, что чья поляра, получаем: прямые BN и CN образуют равные углы с прямой BC. Попросту говоря, треугольник BNC равнобедренный, BN = NC. Значит, точка N лежит на серединном перпендикуляре к прямой BC. Поляра к этому перпендикуляру как раз и является той точкой, через которую проходят всевозможные прямые LM. 2. Выполним полярное преобразование относительно вписанной в треугольник ABC окружности. Полярами точек A1 и C1 являются прямые BC и AB. Поляра прямой MN лежит на поляре точки B, т. е. на прямой AC1 . 1 Поскольку прямая MN параллельна AC1 , то поляры этих 1 двух прямых и точка O лежат на одной прямой. Следователь но, поляра прямой MN это точка B пересечения OB и A1C1 (рис.7). Поляры точек M и N это прямые AB и CB . Поэтому

Периодические дроби
2. Длина периода равна 6. При делении на 6 число 100 дает остаток 4. Поэтому сотая после запятой цифра такая же, как четвертая. Ответ: 5. 4. б) Указание. 0,(845) + 0,(49) = 0,(845845) + 0,(494949). Поскольку сумма 845845 + 494949 = 1 340794 семизначное число, возникают переносы 'в предыдущий период'. в) Очевидно, 2,70(584) = 2,705(845). Расширив периоды до длины, равной наименьшему общему кратному периодов слагаемых, получим: 2,705(845) + 6,917(49) = 2,705(845845) + + 6,917(494949) = 9,623(340795). 5. а) 0,(23); б) 0,(001234). 6. а) 0,(012) = 12/999 = 4/333; б) 3,1(3) = 3 + 0,1 + 0,0(3)= 47 1 13 0,(3) = 3,1 + = ; в) 1,93(173) = 1,93 + = 3,1 + 10 10 9 15 1 1 173 0,(173) = 1,93 + + = 9649/4995. 10 10 999 7. Указание. Сумма (произведение, разность) двух обыкновенных дробей (рациональных чисел) обыкновенная дробь. 8. Указание. Сначала напишите все те цифры, которые входят в запись конечное число раз. А затем те, которых бесконечно много (составив из них период). 100 9 9. 0,(692307) = 7,(692307) 7 = 7= . 13 13 7 12 24 = = 1+ : 10 = 10. а) 17 85 170

AB C = 180њ - MON ,
так что задача свелась к доказательству того, что угол AB C тупой. Проведем биссектрисы AO и CO до пересечения с прямой A1C1 в точках A и C соответственно. Лемма. AA C = 90њ. Доказательство. По теореме о внешнем угле треугольника A OC = OAC + OCA. По теореме об угле между 1 360њ- C1OA1 . Следовахордой и касательной C1 A1C = 2 тельно, 1 A OC + C1 A1C = + + 180њ- 180њ- , 22 2




d

i

b

g

где для краткости введены обозначения , , для углов треугольника ABC. Упростив полученное выражение, находим
A OC + C1 A1C = 180њ .


F GH

I JK

= 0,1(4117647058823529); б)

Значит, четырехугольник OA1A*C вписанный и по теореме о вписанном угле OA C = OA1C = 90њ. Лемма доказана. Аналогичным образом можно доказать ра венство OC A = 90њ. Теперь решение упражнения не составляет труда: как мы только что доказали, точки A и C лежат на окружности с диаметром AC. Точка B лежит между ними и потому находится внутри окружности с диаметром AC. Последнее как раз и означает, что угол AB C тупой.

: 100 = 17 68 1700 = 0,04(4117647058823529). = = 4+
c

3

75

F GH

7

I JK

11. в) Указание. Поскольку k 3, то n 3 2 . 12. Предположим противное: пусть n 100 и дробь m/n содержит цифры 167 в своей десятичной записи. Тогда, домножив дробь на степень десятки и вычтя образовавшуюся целую часть, получим дробь, в которой цифры 167 идут сразу после = 1002 и 168 6 = 1008, получим число, которое больше 1 и меньше 1,008 < 1,01. При умножении на n получаем (целое!) число, которое больше n и меньше n + 0,01n n + 1. Но такого целого числа не существует. Противоречие. 100 13. = 16 . 6 14. Число 11K1 кратно 7 тогда и только тогда, когда n крат13 2 запятой. Домножим такую дробь на 6. Поскольку 167 6 =

Закон сохранения энергии для одноатомного идеального газа
1. A = 2RT 5 Дж. 2. Q = A + 3 2 RT . 3. A12 = 2 A - 3 2 RT1 = 935 Дж. 4. 1 = 2 1 + .

b

g

Всероссийская студенческая олимпиада по физике
1. = + 2 3. а) T1 = б) T1 = 4. T = mv
2 0

b

g

R g 69 мин.

2. 2 = 1 R1

e

2 R2 .

j

LM OP NQ

3 2 T0 , 1 = 0 , E1 = E0 ;

3 2T0 , 1 =

b4k g
3 0

2 3 0 , E1 = 2 3 E 0 .

, где k постоянная Больцмана;
3.

N = 8 2 R n

но 6. Число 111111 кратно и 11, и 13, и 15873 (=111111/7). 15. При k, кратных 6. 16. Указание. Подумайте, что происходит при делении 'уголком'. Ответ: n = 2, а m четное число. 2n n 17. а) По условию, 10 1 не кратно числу p, а 10 1 = = 10 - 1 10 + 1 кратно p. Следовательно, 10 + 1 кратно p.

n

5. = 0 U1 - U
m1 = 0 U1 - U2

e

d

2

2

je

2

i

d 9,4 10
2 gd
2

-7

6. d = 50L.

7. B = r tg q .

b

j

Кл м ;
-3

2

e

n

je

n

9,3 10

g

кг м .

2

Пусть 1/p = 10 a + b

8. I = I0 1 + 9 4 .

e

2

j

FH

10 a + b

n

IK FH

e

j

n

n

10 -

n

j e10 - 1j 1I = e10 + 1j K
2n n

, где 0 a, b < 10 . Тогда
p целое число. Поскольку

n