Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/51.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:51 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:13 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: р п р п р п р п р п р п р п р п

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

51
(рис.5). Найдите работу, совершенную газом при расширении через турбину в переходе 12, если в процессах 23 и 31 к газу в итоге было подведено количество теплоты Q = =72 Дж. Известно, что T2 = T3 и V2 V3 = 3. Хотя процесс расширения 12 через турбину необратим, но, если начальное и конечное состояния равновесны, по закону сохранения энергии можно утверждать, что работа, совершенная в этом процессе, равна изменению внутренней энергии газа:
A12 = - CV T2 - T1 = CV T1 - T2 .

При этом
A23 = RT2

@V

3

V2

= RT2

@V

2 V3 V2

E

2

-1

F
=



3

V4

2V3 V4
2

E

2

-1

= RT2

T2 T1 - 1 2 T2 T1
Рис. 4

(по условию p3 V3 = p4 V4 , следовательно, T1 V4 = T2 V3 ) и, аналогично, T T -1 A41 = RT1 2 1 T1 . 2 T2 Окончательно работа в цикле 12 341 равна
A= R T2 - T1 2 T2 T1
2

! 8

?

D

2

.

Задача 4. Моль гелия из начального состояния с температурой Т = 300 К расширяется в адиабатическом процессе так, что относительное изменение его давления составило p p = =1/120. Найдите работу, совершенную газом, если относительные изменения его температуры и объема оказались также малыми. По условию, изменение объема газа мало, поэтому для адиабатического процесса элементарная работа равна

батическом процессе 31 возвращается в исходное состояние (рис.4). Какую работу совершил газ в замкнутом цикле, если разность максимальной и минимальной температур в нем составила T ? Максимальная и минимальная температуры газа в цикле достигаются в адиабатическом процессе, так что T = T1 T3 . В адиабатическом процессе тепло к газу не подводится и не отводится от него, поэтому работа в цикле равна разности подведенного количества теплоты Q12 и отведенного Q23 . В изотермическом процессе подведенное количество теплоты равно совершенной газом работе:

?

D

?

D

На участке сжатия 23 теплоемкость не остается постоянной, однако внутренняя энергия газа не изменяется ( T2 = T3 ). Поэтому итоговое отведенное на этом участке количество теплоты численно равно работе сжатия: 2 V2 V3 - 1 Q23 = RT2 2 V2 V3

@

E

Q12 = A12 ,
в изобарическом процессе отведенное количество теплоты составляет
Q23 = CV + R T2 - T3 = CV + R T .

(см., например, задачу 2). Чтобы упростить дальнейшие выкладки, подставим отношение объемов V2 V3 = 3:

Q23 =

4 3

RT2 .

A = pV = - CV T .
Изменения давления p , объема V и температуры T связаны уравнением состояния

?

D@

E?

D

Итак, работа в цикле равна

На участке изохорического нагрева 31 к газу подводится количество теплоты

>

p + p V + V = R T + T .

C>

C>

C

Пренебрегая произведением малых величин pV , находим

pV + Vp = RT .
Исключим из последнего Vp с помощью уравнения pV p = RT V p = p равенства состояния: p
p

и воспользуемся выражением для работы:
A. CV p Окончательно получаем p CV = 12,5 Дж. RT A= CV + R p CV A + RT p = R CV T = - R

5 R T . 2 Этот же результат можно получить, подсчитав алгебраическую сумму работ газа на всех трех участках цикла (в чем читатель может убедиться самостоятельно). Задача 6. Моль гелия из начального состояния 1 с температурой Т1 = =100 К, расширяясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в равновесное состояние 2. Этот процесс происходит без подвода либо отвода тепла. Затем газ сжимают в процессе 23 линейной зависимости давления от объема и, наконец, по изохоре 31 возвращают в исходное состояние
A = A12 - CV + R T = A12
F

?

D

Q31 = CV T1 - T3 = CV T1 - T2 .
По условию,
Q = Q31 - Q23 =

@

E

?

D

3 2

R T1 - T2 -

?

D

4 3

RT2 ,

откуда находим

RT2 =

9 17

RT1 -

6 17

Q.

Окончательно для работы расширения через турбину имеем 3 A12 = R T1 - T2 = 2 12 9 RT1 + Q 625 Дж. = 17 17

?

D

(Читатель, знакомый с уравнением адиабаты для идеального газа, результат может получить с помощью этого уравнения и уравнения состояния.) Задача 5. Один моль одноатомного газа расширяется в изотермическом процессе 12, совершая работу A12 . Затем газ охлаждается в изобарическом процессе 23 и, наконец, в адиа-

!

Задача 7. Найдите КПД цикла 1 231, проведенного с одним молем одноатомного газа и состоящего из участка линейной зависимости давления от объема (прямая 12 проходит через начало координат диаграммы pV), изохоры 23 и изобары 31 (рис.6). Известно, что p2 = = 2 p1 = 2 p0 , V3 = V2 = 2V1 = 2V0 . Тепло подводится на участке 12, где теплоемкость постоянна и равна 2R (см., например, задачу 1):
Q1 = Q12 = 2 R T2 - T1 = 6 p0V0 .

Рис. 5

8

?

D