Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/49.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:51 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:13 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: lmc

ПРАКТИКУМ ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

АБИТУРИЕНТА

49

Закон сохранения энергии для одноатомного идеального газа
А.ШЕРОНОВ

В

выполняется закон сохранения энергии, или первый закон (первое начало) термодинамики, который удобно записывать в виде

О ВСЕХ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССАХ

Q = U + A .
Здесь Q подведенное количество теплоты, А совершенная термодинамической системой работа и U изменение внутренней энергии системы. Внутренняя энергия является функцией состояния термодинамической системы и для идеального газа зависит только от его температуры Т. Для одного моля одноатомного газа она равна U = 3/2 RT (где R универсальная газовая постоянная). Любое (как бесконечно малое, так и конечное по величине) изменение внутренней энергии определяется лишь разностью температур конечного и начального состояний:

При конечном изменении объема от V1 до V2 в обратимом процессе работа газа численно равна площади под кривой зависимости его давления от объема p V , ограниченной изохорами V1 и V2 , т.е.

а внутренняя энергия идеального одноатомного газа оказывается равной 3 U = RT = CV T . 2 В адиабатическом процессе тепло к газу не подводится и не отводится от него. Работа газом (или над ним) совершается за счет изменения его внутренней энергии: А = U = = - 3 2 R T2 - T1 , где T2 и T1 температуры в конечном и начальном состояниях. Это оказывается верным как для малого, так и для конечного изменения температуры газа, поэтому в адиабатическом процессе для элементарной работы имеет место равенство A = pV = -CV T ,

c

h

bg

V2

A=

V 1

z

p V dV .

bg

В задачах на расчет тепловых процессов с идеальным газом полезным оказывается введение понятия теплоемкости С газа в данном процесса:

где V и T малые, по сравнению с первоначальными значениями, изменения объема и температуры газа. Теплоемкость в адиабатическом процессе, очевидно, равна нулю ( Q = CT = = 0). В изотермическом процессе подвода или отвода тепла внутренняя энергия газа не изменяется. При расширении одного моля газа от объема V1 до объема V2 газ совершает работу, которую можно найти, воспользовавшись уравнением состояния газа pV = RT:
V2

Q = CT ,
где T малое изменение температуры газа при подведении к нему малого количества теплоты Q . Заметим, что введенная таким образом теплоемкость зависит от вида процесса p V и может менять свою величину и даже знак в ходе этого процесса. Напомним теперь основные характеристики часто встречающихся процессов. В изохорическом процессе нагрева или охлаждения газа работа газом (или внешними силами) не производится. Поэтому подведенное (или отведенное) количество теплоты Q равно изменению внутренней энергии газа: Q = U = 3 2 RT (для одного моля газа). Это соотношение оказывается верным для любого изменения температуры газа как малого, так и конечного, поэтому соответствующая изохорическому процессу теплоемкость оказывается постоянной и для одного моля газа равной 3/2 R. Она называется молярной теплоемкостью при постоянном объеме и обозначается CV . Таким образом,

A=

V 1

z

p V dV =

bg

V2

V 1

z

RT V

dV = RT ln

V2 V1

.

bg

U =

3 2

RT

и не зависит от способа перехода из начального состояния в конечное. Это остается справедливым и в том случае, когда газ переводится из начального равновесного состояния в конечное равновесное состояние в результате неравновесного необратимого процесса. Напротив, работа А, которая совершается газом за счет подведенного тепла или изменения его внутренней энергии, зависит от пути перехода между двумя равновесными состояниями. Элементарная работа A в любом обратимом процессе по определению равна произведению давления р на малое изменение объема газа V в двух соседних равновесных состояниях этого процесса: A = pV .

По закону сохранения энергии, подведенное к газ количество теплоты равно совершенной газом работе: Q = A. При расширении газа A > 0, при сжатии A < 0 (работа совершается внешними силами, тепло от газа отводится). Так как температура газа не изменяется ( T = 0), теплоемкость газа в изотермическом процессе оказывается бесконечно большой. В изобарическом процессе нагрева с постоянным давлением р = p0 работа одного моля газа при расширении от объема V1 до объема V2 равна

A = p0 V2 - V1 = R T2 - T1 .
Подведенное количество теплоты Q идет на совершение работы и на увеличение U = CV T2 - T1 внутренней энергии газа. Для нахождения теплоемкости Cp в изобарическом процессе воспользуемся уравнением процесса р = p0 и уравнением состояния pV = = RT: Q = Cp T = U + pV =

c

hc

h

c

h

CV =

3 2

R,

= CV T + RT = CV + R T .

c

h