Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:51 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:10 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К КРУЖОК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ Р У Ж О К

45

Поляры и теорема Паппа
Г.БАГДАСАРЯН
От редакции. Студент Ереванского университета Григорий Багдасарян, призер международных математических олимпиад 1996 и 1997 годов, самостоятельно придумал любопытное геометрическое преобразование. Он не успел узнать, что оно известно науке под названием полярного преобразования, погиб в озере Севан, спасая тонувшего брата. Для удобства читателей оригинальная терминология автора приведена в соответствие с общепринятой. Для решения многих задач полезны параллельные переносы, повороты, осевые симметрии и другие геометрические преобразования. Они переводят точки в точки. Но иногда оказывается полезным преобразование, переводящее точки в прямые, а прямые в точки. Чтобы перейти к точным формулировкам, зафиксируем на плоскости окружность с центром O и радиусом r. Полярой точки A, где A O, назовем прямую, перпендикулярную прямой AO и проходящую на расстоянии 2 r OA от точки O. Полярой прямой l, не проходящей через точку O, будем называть такую точку A, полярой которой является прямая l. (Другими словами, OA l и 2 OA = r d , где d расстояние от точки O до прямой l.) Например, полярой точки, лежащей на окружности , является проходящая через эту точку касательная.1 Столь же легко убедиться, что если 2 OA < r, т.е. r OA > r, то поляра точки, лежащей внутри окружности , не пересекает . Если OA > r, то поляра точки A пересекает окружность в некоторых двух точках K и L (рис. 1). Оказывается, прямые AK и AL касательные к окружности! Это легко доказать непосредственно, но мы выведем это утверждение из еще более важного свойства полярного преобразования: если точка B лежит на поляре точки A, то и точка A лежит на поляре точки B. Действительно, по определению, поляра точки A перпендикулярна лучу OA и проходит через такую точку A этого луча, что OA = r 2 OA (рис.2).

жит на поляре точки A, то точка A лежит на поляре точки K, а эта поляра как раз и является касательной к окружности.2 Теорема Паппа Рассмотрим вписанный в окружность шестиугольник AB1CA1 BC1 (рис.3). Пусть продолжения его противоположных сторон AB1 и A1B пересекаются в точке M, продолжения сторон AC1 и AC в точке L, а продолжения 1 BC1 и BC в точке K. Известная 1
C


B A B


A C M



K

L
Рис. 3

B

теорема Паскаля гласит: точки K, L, M лежат на одной прямой. Утверждение теоремы Паскаля верно и для самопересекающихся шестиугольников (рис.4), а также для шестиугольников, вписанных в эллипс и гиперболу. Оно верно даже для шести-

B A O
Рис. 2

A M L C C

Рассмотрим такую точку B луча OB, 2 для которой OB = r OB . Соединим B и A отрезком. Поскольку
OB OA = r OB r OA
2 2

K

A

=

OA OB
Рис. 4

B

K O r / OA L
Рис. 1 1Для доказательства достаточно заметить, что r 2 r = r и касательная перпендикулярна радиусу.
7*

A

и поскольку угол O треугольников OB A и OA B общий, то эти два треугольника подобны. Соответственные углы подобных треугольников равны:

OA B = OBA = 90њ ,
что и требовалось. Как вы помните, мы обещали доказать, что прямые AK и AL (см. рис. 1) касаются окружности . Это теперь легко сделать: поскольку точка K ле-

угольников, 'вписанных в две прямые'. Мы не будем доказывать теорему Паскаля и сформулировали ее здесь лишь для того, чтобы менее неожиданной стала формулировка теоремы Паппа, которая наряду с теоремой Паскаля является одной из важнейших теорем проективной геометрии. Теорема Паппа. Пусть точки A, B, C лежат на одной стороне угла, а
2 Для точки L рассуждение аналогично.