Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/29.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:50 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:21:38 2012 Кодировка: Windows-1251

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

29
F cos - N sin = ma = mF M+m F sin + N cos - mg = 0 .
,

Теперь положим а =

1 1 , с = . Получим y x z 1 1 1 3 +3 +3 , 3 2 a b+c b c+a c a+b 1
,b=

ли и вертикали:

>

C

>

C

>

C

где a > 0, b > 0, c > 0, abc = 1. Эта задача предлагалась в 1995 году на Международной математической олимпиаде (см. задачу М1526). С.Калинин, В.Сендеров

Ф1718. Заяц бежит по прямой с постоянной скоростью 5 м/с. В некоторый момент его замечает лиса и начинает погоню. Скорость лисы постоянна по величине и равна 4 м/с, а движется она тоже не самым лучшим образом скорость ее в каждый момент направлена точно в ту точку, где находится заяц. Вначале расстояние между ними уменьшается, затем начинает возрастать. Минимальное расстояние составляет 30 м. Какое ускорение было у лисы в тот момент, когда расстояние стало минимальным?
В неподвижной системе отсчета скорость лисы по модулю постоянна; значит, ускорение лисы связано с поворотом вектора ее скорости. Пусть в некоторый момент скорость лисы составляет угол с направлением скорости зайца, тогда скорость сближения лисы и зайца равна
vотн = vл - vз cos .

Отсюда легко найти выражение для необходимой силы: mg sin . F= m cos 1- M+m А.Клинов коэффициентом трения ч . Доску резко начинают двигать в горизонтальном направлении со скоростью v0 , а через время резко останавливают. Найдите длину меловой черты на доске. Если за время кусок мела успеет набрать скорость, которую придают доске, то он переместится по доске на
L1 = v 2 чg
2 0

Ф1720. Кусок мела лежит на горизонтальной доске с

.

Минимальное расстояние между участниками забега получается в тот момент, когда относительная скорость становится нулевой; значение угла при этом определяется соотношением
cos 0 = v v
л з

= 08 . ,

Теперь мы можем задать очень малый интервал времени , найти малый угол поворота вектора скорости лисы: v sin = з L и ускорение лисы:
a= vл = vл vз sin L , = 04 м с .
2

Если теперь доску резко остановить, кусок мела проедет столько же в обратную сторону, остановится в начальной точке, и длина меловой черты будет равна L1 . Если же отрезок времени мал и мел не успеет остановиться относительно доски, то решение выглядит подругому. Длина меловой черты до момента остановки доски равна 2 чg L2 = v0 - . 2 К моменту остановки доски мел приобретет скорость (относительно неподвижной системы отсчета) v = чg . После остановки доски скорость куска мела начнет убывать до полной остановки, а длина пройденного при этом пути составит v v2 , L3 = 05v = . чg 2чg Легко видеть, что эта величина меньше L2 , следовательно, длина меловой черты в этом случае равна L2 . К.Чертов

Ф1721. В высокий вертикальный сосуд квадратного
сечения, разделенный вертикальными перегородками на три части (см. рисунок), налили до одной и той же высоты горячий суп с температурой +65 њС в большое отделение, теплый компот при +35 њС и холодный квас при +20 њС. Наружные стенки сосуда очень хорошо теплоизолированы, внутренние перегородки имеют одинаковую толщину и сделаны из одного материала, не очень хорошо проводящего тепло. Через некоторое время суп остыл на 1 градус. Считая, что все эти жидкости практически одна вода, определите, на сколько изменились за это время температуры остальных двух жидкостей. Кваса в сосуде столько же, сколько компота, супа вдвое больше. При расчетах мы будем пренебрегать теплоемкостью самого сосуда это разумно, если стенки его тонкие и

Можно решать задачу и в системе отсчета, которая связана с зайцем, но при этом придется учитывать и изменение модуля скорости лисы! М.Учителев

Ф1719. В системе, показанной на рисунке, силы трения отсутствуют. При каком значении силы F клин и тележка могут двигаться вместе, без проскальзывания? Угол при основании клина .
Клин и тележка могут двигаться вместе (без проскальзывания) только в том случае, когда их ускорения одинаковы, т.е. направлены гоF ризонтально и равны
m

a=

F M+m

.


8 Квант ? 3

M

Теперь можно записать уравнения движения тележки по горизонта-