Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/03.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:49 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:43 2012 Кодировка: Windows-1251

ВЕЛИКИЕ

МАТЕМАТИКИ

ПРОШЛОГО

И

ИХ

ВЕЛИКИЕ

ТЕОРЕМЫ

3

показывает, что произведение чисел, представимых в виде суммы четырех квадратов, тоже представимо в этом виде. Поэтому достаточно доказать теорему 4 для простых чисел. 2 2 2 2 Очевидно, 2 = 1 + 1 + 0 + 0 . Пусть р нечетное простое число. Лемма. Существуют такие це2 2 лые числа х и у, что x + y + 1 кратно р. Доказательство леммы. Рассмот2 p -1 2 2 2 рим числа 0 , 1 , 2 , ..., . 2 Если какие-то два из них дают один и тот же остаток при делении на р, 2 2 т.е. если x y mod p , где

бесконечного спуска: предположим, что m > 1, и докажем, что в таком случае m не наименьшее. Пусть для начала m четно. Тогда либо все числа х, у, z, t четны, либо все они нечетны, либо два из них (для определенности, пусть это х и у) четны, а два (z и t) нечетны. В любом случае формула

Как мы помним, x a , y b , z c и t d mod m . Поэтому
ax + by + cz + dt ay - bx + ct - dz
xy - yx + zt - tz = 0 ,

b

g

x2 + y 2 + z 2 + t 2 = pm 0,

FG H

IJ K

FG H

x+y 2

IJ + FG x - K H2 F z + t IJ +G H2K
2 2

y
2

IJ K

2

az - bt - cx + dy
xz - yt - zx + ty = 0 ,

+

+

FG H
2

z-t 2
2

IJ K

2

at + bz - cy - dx

=
2

xt + yz - zy - tx = 0 .

0 x < y p - 1 2 , то x y = = x - y x + y кратно р. Но ни разность х у, ни сумма х + у не кратна р. Итак, рассматриваемые числа дают разные остатки при делении на р. Рассмотрим теперь еще p + 1 2 чи2 2 2 сел: 1 0 , 1 1 , 1 2 , ...

b

gb

b

g

g

b

2

g

=

x + y + z +t 2

=

pm 2

2

b

g

p -1 . Они тоже дают 2 разные остатки. Поскольку остатков от деления на р существует р штук, а в каждом из рассматриваемых нами множеств p + 1 2 элементов, то хотя 2 бы одно из чисел вида x дает при делении на р такой же остаток, как и 2 некоторое число вида 1 y . При этом
..., 1

FG H

IJ K

2

b

g

x -1 - y
2 2

2

2

что и требовалось доказать:

b

mod p ,

g

показывает, что m не наименьшее возможное. Пусть теперь m нечетно. Рассмотрим остатки a, b, c, d от деления чисел х, у, z, t на m. Хотя бы один из них отличен от 0: в противном слу2 2 чае сумма квадратов pm = x + y + 2 2 2 + z + t делилась бы на m и (простое!) число р делилось бы на m. Можно считать, что числа а, b, c, d не превосходят m - 1 2 . (Если, например, величина а окажется равна m + 1 2 или больше, то можно заменить х на противоположное ему число х. При этом вместо а полуm +1 чим остаток m a m = 2 m -1 = .) 2 2 2 2 2 Обозначим n = a + b + c + d . Так как

Итак, все числа ay bx + ct dz, и at + bz cy формула ax + by + cz pl = m

ах + by + cz + dt, az bt cx + dy dx кратны m;

FG H

+ dt

+ +

FG H FG H

IJ K

2

+

ay - bx + ct - dz m az - bt - cx + m
+

b

g

b

g

FG H

IJ K dy I JK

2

+
2

+

at + bz - cy - dx m

IJ K

2

представляет число pl в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Таким образом, число m не является наименьшим возможным. Теорема Лагранжа доказана.

Гаусс и его теорема о семнадцатиугольнике
Подобно Архимеду Гаусс выразил желание, чтобы на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Г.Вебер

x + y + 1 0 mod p .
Числа х и у, как мы помним, не превосходят p - 1 2 ; поэтому

b

g

n = a +b +c +d
2 2 2 2

2

2

2

2

b

x + y +1 <
При этом
2

2

2

FG p IJ + FG p IJ H 2K H 2K
2 2

g

x + y + z + t = pm 0 mod m ,

2

+1 < p .

2

то n 0 mod m , так что n = ml, где l натуральное число. Поскольку все числа а, b, c, d меньше m/2, имеем

b

g

b

g

x + y + 1 = pm ,
где m < p. Мы хотим доказать, что число р представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Давайте рассмотрим наименьшее натуральное число m, для которого существуют такие целые числа х, у, z, t, что

ml = a + b + c + d <

2

2

2

2

<4m2

bg

2

= m2 .

Следовательно, l < m. Применим формулу Эйлера:

b

ax + by + cz + dt

+ ay - bx + ct - dz + +
2

x + y + z + t = pm .
Как мы уже знаем, m < p. Докажем, что m = 1. Для этого применим изобретенный Пьером Ферма метод
1*

2

2

2

2

= a +b +c +d

e

b baz bat

g

2

+

- bt - cx + dy2) +

g

2

+ =
2 2 2

+ bz - cy - dx
2 2

2

je

g

2

x + y + z +t

2

2

j

=

Так же как в литературе Гомер, Данте, Шекспир, Гете, Толстой и Достоевский, так в математическом естествознании Архимед, Ньютон, Эйлер, Гаусс, Риман и Пуанкаре высочайшие вершины, соединение гениальности и всеохватности. Карл Фридрих Гаусс (17771855) математик, чье имя, как и имя Архимеда, овеяно легендами. Многие его высказывания вошли в поговорку. Часто вспоминают его девиз: 'Nilactum reputans si quid superesset agendum'1 . В этой личности счастливо сплелись могучий интеллект, сильный характер и любознательность естествоиспытателя. При жиз1 Что не завершено, не сделано вовсе (лат.).

= npm = m pl .