Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/kv0300stasenko.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:47 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:36:45 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: принцип наименьшего действия

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

39
электронов), будет действовать сила, равная

щие жесткую кристаллическую решетку, естественно, при этом покоятся. Если внешнее магнитное поле отсутствует, то единственным магнитным полем будет собственное магнитное поле Bc , возникающее при движении свободных электронов, которым мы можем пренебречь. Теперь включим внешнее магнитное поле B , точно такое же, как и в предыдущем случае. Под действием возникшей магнитной силы, равной Fм = evд B , движущиеся со скоростью v д электроны будут отклоняться вниз и создавать избыток отрицательных зарядов на нижней поверхности бруска и положительных на его верхней поверхности. Так будет продолжаться до тех пор, пока не возникнет поперечное электрическое поле E , направленное вниз и компенсирующее действие магнитной силы, точно так же, как это было в случае равномерного движения бруска в однородном магнитном поле. Принципиальное отличие заключается в том, что при наличии электрического тока в движении участвуют только свободные электроны. В стацио-

нарном состоянии, которое достигается очень быстро после включения внешнего магнитного поля, электроны в среднем снова движутся горизонтально вдоль сторон а, а внутри металлического бруска появляется поперечное электрическое поле E = 0 , наблюдаемое в системе отсчета, связанной с кристаллической решеткой металла. Это поле своим действием уравновешивает магнитную силу, действующую на движущиеся электроны, и + создает электрическую силу Fэ , направленную вниз и действующую на неподвижные положительные ионы (на кристаллическую решетку металла). Вот таким образом магнитная сила, действующая на электроны, передается сплошному металлическому бруску. Величину этой воспринимаемой бруском силы можно записать так: на один положительный ион действует сила, равная
F = eE


FN = evд B nabd =
= nev д bd B a = IBa . Как и следовало ожидать, эта сила в точности равне сумме всех сил Лоренца, действующих со стороны магнитного поля на движущиеся электроны. Силу, действующую на проводник длиной а, по которому течет ток I и который помещен в однородное маг нитное поле B , называют силой Ампера. А физическое явление возникновения разности потенциалов между поверхностями проводника (нашего бруска), когда по нему течет электрический ток и проводник находится в магнитном поле, называется эффектом Холла. Эту разность потенциалов 1 IBd = E d = v д Bd = neS можно измерить непосредственно с помощью вольтметра. Заметим, что эффект Холла был открыт в 1879 году, за много лет до открытия электрона Томсоном (1897 г.).

= ev д B ,

на все же ионы бруска, а их N = = nabd, где n число ионов в единице объема (равное плотности свободных

Пределы зоркости приборов
А.СТАСЕНКО

'

лескопу и начал смотреть на луну А не видите ли вы бледных пятен, движущихся возле луны?.. Черт возьми, сэр! Называйте меня ослом, если я не вижу этих пятен! Что это за пятна? Это пятна, которые видны в один только мой телескоп. Довольно! Оставьте телескоп! Через полчаса мистер Вильям Болваниус, Джон Лунд и шотландец Том Бекас летели уже к таинственным пятнам на восемнадцати аэростатах. Кто из читателей воспылает желанием ближе познакомиться с мистером Вильямом Болваниусом, тот пусть прочтет его замечательное сочинение 'Существовала ли луна до потопа? Если существовала, то почему же и

М

ИСТЕР ЛУНД ПОДОШЕЛ К ТЕ-

она не утонула?' Между прочим, там описывается, как он прожил два года в австралийских камышах, где питался раками, тиной, яйцами крокодилов и изобрел микроскоп, совер-

шенно сходный с нашим обыкновенным микроскопом' (А.Чехов. 'Летающие острова'). Действительно, среди многочисленных приборов, изобретенных физиками, широкую известность получили телескоп и микроскоп. Один из них устремлен в глубины Вселенной, другой позволяет рассматривать всякую мелочь буквально 'под носом'. Обсудим вкратце, как они работают. С точки зрения геометрической оптики, с телескопом все просто. Есть две соосные линзы с фокусными расстояниями Fоб у объектива и Fок у окуляра (рис.1). Лучи, идущие от каждой из двух рассматриваемых звезд

Объектив 1 2 O Фокальная плоскость K Окуляр

B Fоб Fок
Рис. 1

O


2

1


40
направления 1 и 2, почти параллельны и, по определению фокусного расстояния, после объектива они должны собраться в двух точках В и K, лежащих в фокальной плоскости объектива. Но в телескопической системе это одновременно и фокальная плоскость окуляра, поэтому, пройдя через окуляр, лучи должны выйти тоже двумя параллельными пучками с осями 1 и 2 . Угол между входящими лучами 1 и 2 (направлениями на две звезды) обозначим через , а угол между выходящими лучами через . Легко видеть, в чем 'фокус' такой телескопической системы. Из прямоугольных треугольников ОВK и OBK видно, что их общий катет равен

КВАНT$ 2000/?3

Проведем при помощи этого принципа приближенное рассмотрение дифракции света (от одной звезды) на объективе телескопа. Разобьем объектив условно на две половины (рис.2,а) и будем считать, что обе они являются источниками вторичных волн. Если принять расстояние между точками С и C равным половине диаметра D объектива, то разность хода волн, пришедших от них в точку М, будет приблизительно равна (см. выделенный треугольничек на рисунке 2,б)

волны погасят друг друга. Из выражения (2) имеем

sin

1 min

=

3 8D

= 118 ,

D



1 min

.

=

D 2

sin .

BK = Fоб tg = Fок tg ,
откуда
tg tg = Fоб Fок

(1)

(последнее приближенное равенство записано для случая малых углов, который обычно и реализуется на практике). Полученное соотношение открывает, казалось бы, неограниченные возможности для увеличения телескопа: нужно брать как можно более длиннофокусный объектив (вот почему оптические телескопы-рефракторы такие длинные) и как можно более короткофокусный окуляр. Но тут вмешивается еще один характерный размер длина волны . Как же иначе? Ведь свет это электромагнитные волны в диапазоне 0,4 мкм Щ Щ 0,8 мкм. А любая волна, проходя около препятствия, дифрагирует. Более того, любой участок первичной волны (например, в плоскости объектива), согласно принципу ГюйгенсаФренеля, можно считать источником вторичных волн, которые затем интерферируют друг с другом всюду, где встретятся, например в фокальной плоскости объектива.

И результат их интерференции будет определяться значением этой разности. Например, в точке В (да и на всей оптической оси ОВ) имеем = 0 и = 0; значит, эти две волны будут усиливать друг друга, так что в фокусе объектива (если туда поставить пластинку, перпендикулярную оптической оси) будет светлое пятно. Можно уточнить этот результат, считая, что точки С и C соответствуют центрам тяжести каждой из половин объектива. Нетрудно показать (например, сделав полукруг из картона и уравновесив его на лезвии ножа) или посмотреть в справочнике, что центр масс полукруга находится на высоте 4D yC = над его диаметром. Зна3 2 чит, разность хода двух сферических волн, исходящих из точек C и C' под углом к оптической оси, будет равна

Конечно, принцип ГюйгенсаФренеля предписывает складывать элементарные возмущения от малых площадок первичной волны (т.е. интегрировать). При этом нам пришлось бы иметь дело с так называемыми функциями Бесселя, которые в случае осевой симметрии являются аналогами 'обычных' синусов и косинусов, характерных для одномерных задач (например, струны гитары). И тогда получился бы более точный результат:

. (3) D Видно, что наше грубое рассмотрение всего лишь на четыре процента отличается от более точного не так уж и плохо. Но почему для нас так важен этот угол? Потому что он дает радиус первого темного кольца BМ = = Fоб 1min , окружающего светлое пятнышко изображение звезды в фокальной плоскости объектива. Получается, что это вовсе не точка, как утверждает геометрическая оптика. Значит, вторая звезда с угловым расстоянием от оптической оси тоже даст светлое пятнышко в фокальной плоскости, и теперь все дело в том, насколько далеко оно окажется от изображения первой звезды. Великий Рэлей предложил простой критерий: должно быть sin
1 min

= 122 ,

= 2 yC sin =

8D 3 2

sin .

(2)

Ъ 1min ,

(4)

Будем теперь перемещать вверх (или вниз) точку наблюдения в фокальной плоскости. Тогда угол будет расти, а вместе с ним будет расти разность хода . Очень важно найти, при каком значении угла 1min эта разность хода станет равной 1min = , так что 2

иначе изображения двух звезд наложатся друг на друга уже в фокальной плоскости объектива и далее никакими ухищрениями их не разделить. Но оторвемся от звезд и заглянем в микроскоп. Обычное построение изображений предмета в объективе и окуляре (в приближении тонких линз) дано на рисунке 3. Тут существенно,

а C y+ D O C M B

б D y+ y+ O B
M

M

Рис. 2

M


ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

41
Теперь сравним разрешающие способности телескопа и микроскопа. Получается, что мы выдвигаем прямо противоположные требования: min желательно для телескопа D делать как можно меньше; 2n sin желадля микроскопа d тельно делать как можно больше. Отсюда понятно стремление строить телескопы с возможно большим диаметром входного 'зрачка', а микроскопы с возможно меньшим фокусным расстоянием объектива (чтобы sin был как можно ближе к единице) и при этом пространство между объективом и предметом наблюдения следует заполнить жидкостью с возможно бульшим показателем преломления n (так называемая иммерсионная техника). Что же достигнуто человечеством? Самый большой диаметр объектива оптического телескопа D ; 6 м. Для 'средней' длины волны света ; ; 0,6 мкм из выражений (3) и (4) -7 будем иметь min ; 10 . Принимая 26 м, для радиус Вселенной R ; 10 двух разрешимых точек на ее 'границе' получим
lmin ; R
min

будет в порядке. Но и тут вмешалась все та же ! Теорию разрешающей способности микроскопа разработал Аббе (о нем совсем недавно рассказывалось в 'Кванте' см. ?1 за 2000 г.). Он предложил рассмотреть в микроскоп дифракционную решетку (рис.4). Какую минимальную информацию можно получить об этой решетке? Конечно, прежде всего можно узнать ее период d. Как известно, при прохождении через решетку света с длиной волны должен получиться набор дифракционных максимумов. Если свет падает на решетку под углом 0 , то направление на эти максимумы определяется условием
Рис. 3



m

- 0 =
= d sin
m max

(5) Чтобы микроскоп дал информацию о периоде d, в его объектив должны прийти по крайней мере два луча, соответствующих двум соседним максимумам дифракционной картины, например m = 0 и m = 1. Именно такой предельный случай = 0 и = -1 max изображен на рисунке 4. Заметим, что период решетки d, коX Do торый мы стремимся рассмотреть, ко= , нечно, очень мал порядка микроx Fок Fоб метров. В этом масштабе объектив где расстояние между фокусами микроскопа и его фокусное расстояобъектива и окуляра, D0 так называние (порядка миллиметров) таковы, емое расстояние наилучшего зрения. что сам объектив нужно было бы изобУвеличение микроскопа может быть разить далеко за пределами рисунка значительным. Например, для харак(порядка метров); поэтому он покатерных значений Fоб = 2 мм, Fок = зан штриховой линией лишь условно = 15 мм, = 160 мм и D0 = 250 мм (а идущие к нему от узлов решетки получим X/х = 1335. лучи почти параллельны). Казалось бы, это не предел надо Итак, из условия (5) получим лишь делать линзы все более совер2d sin = ( называется апертуршенными геометрически (шлифовать), ным углом). Значит, при заданной устранять их недостатки (апланатизм, длине волны подсветки наименьший астигматизм, хроматическую и сферипериод решетки, который можно 'расческую аберрации, дисторсию) и все смотреть' в микроскоп, равен dmin = = . Можно еще облег2 sin К у об чить дело: если между реив ъе т кт шеткой и объективом помесек ъ ив тить среду с коэффициентом об у К m=0 преломления n (например, капнуть какую-либо жид кость), то увеличится опти`1 m = 1 ческая разность хода (ведь в этой среде скорость света и d 'Предмет' длина волны станут в n раз 0 меньше). В результате полу чим
Рис. 4

чтобы предмет находился за фокусом объектива тогда изображение 1 будет действительным, а это изображение чтобы находилось между окуляром и его фокусом тогда окончательное изображение 1 будет мнимым. Геометрическая оптика дает для увеличения микроскопа следующее выражение (см. рис.3):

- d sin 0 = m .

;1019 м.

В случае микроскопа положим sin Щ 1, n 1,6 (коэффициент преломления анилина). Тогда из равенства (6) найдем

dmin Ъ

4

, ; 01 мкм = 10

-7

м.

Таковы характерные пределы возможностей этих замечательных оптических приборов.

Свет

dmin =

2n sin

.

(6)