Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/02/25.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:44 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:07 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 5

ШКОЛА В ШКОЛА В ' К В А Н Т Е ' 'КВАНТЕ'

25
ки и пятерки, то получится конечная десятичная дробь. Например,

Периодические дроби
Л.СЕМЕНОВА
дробь это число, составленное из целого количества долей единицы. m Дробь записывают в виде или m/n, n где числитель m целое число, а знаменатель n натуральное число. Для получения дроби m/n надо разделить единицу на n равных частей и взять m таких частей. Величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число. Благодаря этому любые две дроби k/l и m/n можно привести к общему знаменателю ln, заменив их на kn/(ln) и ml/(ln). Если числитель и знаменатель дроби имеют отличный от единицы общий делитель, то дробь можно сократить разделить на него числитель и знаменатель. Вследствие этого всякую дробь можно представить в несократимом виде, т. е. в виде дроби, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа 1 . Например, 120/344 120 15 8 сократимая дробь ( = = 344 43 8 15 = ), а 15/43 равная ей несократи43 мая дробь. Дробь m/n называют правильной, если 0 m < n. Всякую дробь можно единственным образом представить в виде суммы целого числа [m/n] (целой части дроби m/n) и правильной дроби {m/n} (дробной части). Например,

13 64

=

13 15625 64 15625 3 25 3 40 = =

=

203125 1000000

= 0,203125 ;

34 25 4 =

= 012 ; , 75 = 0075 . ,

3 25 40 25

1000

К

АК ВЫ ЗНАЕТЕ, ОБЫКНОВЕННАЯ

91 17

=

5 17 + 6 17

=5+

6 17

.

Сумму и разность дробей с одинаковыми знаменателями определяют по правилам:

Чтобы сложить или вычесть дроби k/l и m/n с разными знаменателями, их предварительно приводят к общему знаменателю. Обычно в качестве него берут наименьшее общее кратное НОК[l,n] чисел l и n. Нидерландский ученый и инженер Симон Стевин (15481620) предложил использовать десятичные дроби, т.е. дроби, знаменатели которых степени числа 10. Складывать, вычитать и сравнивать 2 их легче, чем обыкновенные дроби. Десятичные дроби обычно пишут без знаменателя, на5481475 23 пример, = 548,1475 и = 10000 1000 = 0,023. Известно вам и то, что рациональное число (обыкновенная дробь) это периодическая десятичная дробь, а иррациональное непериодическая. Но далеко не каждый может объяснить, почему это так. А уж на вопросы: 'Какова длина периода десятичного представления дроби 1 7 7 ? Какой может быть длина периода суммы двух бесконечных десятичных периодических дробей, длины периодов которых равны 6 и 12?' ответят очень и очень немногие. Эта статья обстоятельный рассказ о связи между обыкновенными и периодическими десятичными дробями. Мы научимся решать некоторые весьма непростые задачи и докажем одну из важнейших теорем арифметики теорему Эйлера (и ее частный случай малую теорему Ферма). Но не будем торопиться, а разберем все по порядку.

Хотя число 35 не является произведением степеней двойки и пятерки, сократимая дробь 7/35 представима в виде конечной десятичной дроби: 7/35 = 1/5 = 0,2. Но если дробь m/n несократима и при этом хотя бы один из простых делителей числа n отличен от 2 и 5, то m/n нельзя представить в виде конечной десятичной дроби 3 . Переводить дроби из обыкновенных в десятичные можно делением 'уголком'. Например, разделим 3 на 7:
7 3 0 0,4285714 30 28 20 14 60 56 40 35 50 49 10 7 30 28

Целая часть равна 0. Чтобы получить первую цифру после запятой, разделим 30 на 7. Получим частное 4 и остаток 2. Разделив 20 на 7, получаем частное 2 и остаток 6. Следующий шаг деление 60 на 7 дает частное 8 и остаток 4. Далее, 40 = 5 7 + 5, 50 = 7 7 + 1, 10 = 1 7 + 3. Мы вернулись к задаче деления 3 на 7; произошло зацикливание: если продолжим деление, то опять получим
Действительно, если m/n = a/10b , то 10 m = an; рассмотрев любой отличный от 2 и 5 простой делитель p числа n, приходим к противоречию: an кратно p, а равное ему число 10b m не кратно.
b

От обыкновенной дроби к десятичной
Как записать обыкновенную дробь m/n в десятичной системе счисления? Если n степень двойки, степень пятерки или произведение степеней двой2 Это очень важно для практики: десятичные дроби гораздо легче сравнивать между собой, чем обыкновенные!

a n
1

+

b n

=

a+b n

.

Числа m и n называют взаимно простыми, если единственным их общим делителем является число 1, т.е. если число m не делится ни на один из простых делителей числа n.
7 Квант ?2

3