Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/02/07.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:43 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:40 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

КАЧАЮЩАЯСЯ

СКАЛА

7
условие устойчивого равновесия камня, т.е. условие CP < CQ, записывается в виде неравенства
CP < Rr R+r

O P C

r

C C

Q P

O A

.

(2)

R



Если поверхность опоры имеет вогнутую форму с радиусом R (форму внутренней поверхности сферы радиусом R), то условие устойчивого равновесия камня на опоре выглядит так:

Рис.1

Рис.2

CP <

Rr R-r

.

(3)

например на футбольном мяче, кирпич труднее уравновесить, чем на плоскости или вогнутой поверхности. Таким образом, устойчивость равновесия тела на опоре зависит от формы тела (точнее его основания) и от поверхности опоры. Чтобы вывести критерий устойчивости, обратимся снова к качающейся скале или к камню и рассмотрим случай, когда камень и опора в области соприкосновения имеют сферическую форму. (В Приложении к статье вводится понятие кривизны поверхности и рассматривается решение этой задачи для тел произвольной формы.) Будем предполагать, что камень и опора, на которой он стоит, сточились или обветрились и стали гладкими, без сколов и выступов, так что область контакта камня с опорой мала и может быть принята за точку. На рисунке 1 показано сечение камня и опоры вертикальной плоскостью, проходящей через точку их соприкосновения (точка С); здесь О и O центры сферических поверхностей камня и опоры в области контакта, r и R их соответствующие радиусы. Для равновесия камня необходимо прежде всего, чтобы его центр тяжести (точка Р) лежал на вертикали OO ; при этом условия (а) и (б) выполняются. Посмотрим, к чему приведет небольшое отклонение камня от первоначального положения. Пусть в результате отклонения положение камня на опоре стало таким, как на рисунке 2; здесь Q точка пересечения прямой РО с вертикалью, проходящей через точку А новую точку контакта камня с опорой. Если точка Р окажется правее вертикали AA , то момент силы тяжести относительно точки опоры А будет способствовать дальнейше2*

му отклонению, и камень уже не вернется в первоначальное положение. Если же точка Р окажется левее вертикали AA , момент силы тяжести будет возвращать камень в первоначальное положение. А это значит, что равновесие камня будет устойчивым. Итак, если CP < CQ, то равновесие устойчивое. Посмотрим, как при этом связаны между собой величины CP, R и r. В треугольнике OAQ (см. рис.2) CA C A R = = = r r r (так как углы малы). По теореме синусов имеем OQ r = = sin sin - + r = . (1) R sin + r Нас интересуют малые отклонения камня от положения равновесия. Говоря 'малое отклонение', мы имеем в виду, что расстояние, 'проходимое' точкой контакта на поверхности опоры, т.е. дуга C A (и, следовательно, дуга СА, равная C A ), мало по сравнению с радиусами r и R поверхностей камня и опоры. А это и означает, что углы и малы, т.е. R ?1 и = ?1. r Для малых углов, как известно, синус угла с хорошей точностью равен самому углу. Поэтому выражение (1) можно записать так:

cb

gh FG H

IJ K

, или OQ = . = r R+r 1+ R r Так как Rr CQ = r - OQ = , R+r

OQ

1

r

2

(Попробуйте вывести эту формулу самостоятельно.) Отметим теперь следующее важное обстоятельство. Допустим, что равновесие камня на опоре устойчивое. Тогда при отклонении камня от положения равновесия возникает момент силы, препятствующий этому отклонению: у силы тяжести относительно новой точки опоры появляется плечо (см. рис.2). Чтобы удержать камень в новом положении неподвижным, требуется приложить внешнюю силу, такую, чтобы ее момент относительно новой точки опоры был равен по величине и противоположен по направлению моменту силы тяжести; величина и направление этой силы определяются условием (а). Следовательно, даже для небольшого отклонения тела от положения устойчивого равновесия необходимо совершить работу против силы тяжести. Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии тела. А это означает, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия тела имеет минимальное значение, или, что то же самое, центр тяжести тела занимает наинизшее положение. Поэтому условие (2) можно вывести иначе, посмотрев, что происходит с центром тяжести камня при его небольшом отклонении (см. упражнение 1). Такие два различных подхода к решению проблемы устойчивости эквивалентны. Если камень слегка отклонить от положения устойчивого равновесия и не удерживать его в новом положении, он вернется назад, 'проскочит' (по инерции) положение равновесия, снова вернется к нему и т.д., т.е. камень будет совершать колебания около положения устойчивого равновесия. Если небольшое отклонение тела от положения равновесия приводит