Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/02/kv0200semenova.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:43 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:36:45 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 5

ШКОЛА В ШКОЛА В ' К В А Н Т Е ' 'КВАНТЕ'

25
ки и пятерки, то получится конечная десятичная дробь. Например,

Периодические дроби
Л.СЕМЕНОВА
дробь это число, составленное из целого количества долей единицы. m Дробь записывают в виде или m/n, n где числитель m целое число, а знаменатель n натуральное число. Для получения дроби m/n надо разделить единицу на n равных частей и взять m таких частей. Величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число. Благодаря этому любые две дроби k/l и m/n можно привести к общему знаменателю ln, заменив их на kn/(ln) и ml/(ln). Если числитель и знаменатель дроби имеют отличный от единицы общий делитель, то дробь можно сократить разделить на него числитель и знаменатель. Вследствие этого всякую дробь можно представить в несократимом виде, т. е. в виде дроби, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа 1 . Например, 120/344 120 15 8 сократимая дробь ( = = 344 43 8 15 = ), а 15/43 равная ей несократи43 мая дробь. Дробь m/n называют правильной, если 0 m < n. Всякую дробь можно единственным образом представить в виде суммы целого числа [m/n] (целой части дроби m/n) и правильной дроби {m/n} (дробной части). Например,

13 64

=

13 15625 64 15625 3 25 3 40 = =

=

203125 1000000

= 0,203125 ;

34 25 4 =

= 012 ; , 75 = 0075 . ,

3 25 40 25

1000

К

АК ВЫ ЗНАЕТЕ, ОБЫКНОВЕННАЯ

91 17

=

5 17 + 6 17

=5+

6 17

.

Сумму и разность дробей с одинаковыми знаменателями определяют по правилам:

Чтобы сложить или вычесть дроби k/l и m/n с разными знаменателями, их предварительно приводят к общему знаменателю. Обычно в качестве него берут наименьшее общее кратное НОК[l,n] чисел l и n. Нидерландский ученый и инженер Симон Стевин (15481620) предложил использовать десятичные дроби, т.е. дроби, знаменатели которых степени числа 10. Складывать, вычитать и сравнивать 2 их легче, чем обыкновенные дроби. Десятичные дроби обычно пишут без знаменателя, на5481475 23 пример, = 548,1475 и = 10000 1000 = 0,023. Известно вам и то, что рациональное число (обыкновенная дробь) это периодическая десятичная дробь, а иррациональное непериодическая. Но далеко не каждый может объяснить, почему это так. А уж на вопросы: 'Какова длина периода десятичного представления дроби 1 7 7 ? Какой может быть длина периода суммы двух бесконечных десятичных периодических дробей, длины периодов которых равны 6 и 12?' ответят очень и очень немногие. Эта статья обстоятельный рассказ о связи между обыкновенными и периодическими десятичными дробями. Мы научимся решать некоторые весьма непростые задачи и докажем одну из важнейших теорем арифметики теорему Эйлера (и ее частный случай малую теорему Ферма). Но не будем торопиться, а разберем все по порядку.

Хотя число 35 не является произведением степеней двойки и пятерки, сократимая дробь 7/35 представима в виде конечной десятичной дроби: 7/35 = 1/5 = 0,2. Но если дробь m/n несократима и при этом хотя бы один из простых делителей числа n отличен от 2 и 5, то m/n нельзя представить в виде конечной десятичной дроби 3 . Переводить дроби из обыкновенных в десятичные можно делением 'уголком'. Например, разделим 3 на 7:
7 3 0 0,4285714 30 28 20 14 60 56 40 35 50 49 10 7 30 28

Целая часть равна 0. Чтобы получить первую цифру после запятой, разделим 30 на 7. Получим частное 4 и остаток 2. Разделив 20 на 7, получаем частное 2 и остаток 6. Следующий шаг деление 60 на 7 дает частное 8 и остаток 4. Далее, 40 = 5 7 + 5, 50 = 7 7 + 1, 10 = 1 7 + 3. Мы вернулись к задаче деления 3 на 7; произошло зацикливание: если продолжим деление, то опять получим
Действительно, если m/n = a/10b , то 10 m = an; рассмотрев любой отличный от 2 и 5 простой делитель p числа n, приходим к противоречию: an кратно p, а равное ему число 10b m не кратно.
b

От обыкновенной дроби к десятичной
Как записать обыкновенную дробь m/n в десятичной системе счисления? Если n степень двойки, степень пятерки или произведение степеней двой2 Это очень важно для практики: десятичные дроби гораздо легче сравнивать между собой, чем обыкновенные!

a n
1

+

b n

=

a+b n

.

Числа m и n называют взаимно простыми, если единственным их общим делителем является число 1, т.е. если число m не делится ни на один из простых делителей числа n.
7 Квант ?2

3


26
частное 4 и остаток 2, затем будем делить 20 на 7, и так далее:
3 = 0,428571428571428571... 7

КВАНT 2000/?2

4. Проверьте равенства а) 0,(6) + + 0,(5) = 1,(2); б) 0,(845) + 0,(49) = = 1,(340795); в) 2,70(584) + 6,917(49) = = 9,623(340795).

8. Дана бесконечная десятичная непериодическая дробь. Докажите, что ее цифры можно переставить так, что получится периодическая дробь.

Обычно этот результат записывают короче:
3 = 0,(428571), 7

От периодической десятичной дроби к обыкновенной
Пусть x = 0,11111... Тогда 10x = 1,1111..., откуда 10 x = 1 + x , т.е. x = 1/9. Мы получили замечательный результат: 0,11111... = 1/9. Это равенство не приближенное, а точное: бесконечная десятичная периодическая дробь 0,(1) является в точности тем же самым числом, что и обыкновенная дробь 1/9. (Между прочим, равенство 0,999... = 1 тоже абсолютно точное!) Далее, пусть y = 0,17331733173317331733... Тогда 10000y = 1733,1733173317331733..., откуда 10000y = = 1733 + 0,1733173317331733... = = 1733 + y. Из уравнения 10000y = 1733 + y находим 9999 y = 1733, т.е. y = 1733/9999. Если провести вычисления не для частных примеров, как это сделали мы, а в общем виде, то можно установить следующее правило: Чисто периодическая правильная дробь равна такой обыкновенной дроби, в числителе которой период, а в знаменателе число 10r 1 = 9K9 , где r длина периода.
Упражнения 5. Обратите в десятичные дроби числа а) 23/99; б) 1234/999999. 6. Обратите в обыкновенные дроби числа а) 0,(012); б) 3,1(3); в) 1,93(173). 7. Сумма (произведение, разность) двух периодических десятичных дробей периодическая дробь. Докажите это.

Предпериод
Если делить 'уголком' 3 на 14, то зацикливание произойдет не сразу: 3/14 = 0,2(142857). Период, заметим, такой же, как у дроби 1/7. Это легко объяснить:
3 30 15 1 :10 = :10 = 2 + :10 , = 14 14 7 7

т.е. заключают повторяющуюся группу цифр в скобки и говорят: '428571 в периоде'4 . Если повторяющаяся группа цифр (период) расположена непосредственно после запятой, то такую десятичную дробь называют чисто периодической; в противном случае говорят, что дробь имеет предпериод и называют ее смешанной периодической. Теорема 1. Десятичное представление дроби m/n, где m, n натуральные числа, m < n, периодическая дробь, длина наименьшего периода которой не превосходит n 1. Доказательство. Чтобы получить первую цифру после запятой, мы приписываем к m нуль (т.е. умножаем m на 10) и делим (с остатком) полученное число на n. Вообще весь процесс деления уголком повторяемое вновь и вновь умножение очередного остатка на 10 и деление (с остатком) на n. Если на каком-то шаге получится нулевой остаток, то дробь конечная. Конечную дробь, приписав к ней справа бесконечно много нулей, естественно считать периодической с периодом длины 1. По условию, 1 n 1, так что в этом случае утверждение теоремы выполнено. Если же процесс деления никогда не закончится, то будут получаться только ненулевые остатки, т.е. числа от 1 до n 1. Значит, не позже чем на n-м шаге остаток повторится. С этого момента процесс деления зациклится, что и требовалось доказать.
Упражнения 1. Убедитесь, что а) 1/3 = 0,(3); б) 1/6 = 0,1(6); в) 7/30 = 0,2(3); г) 7/11 = 0,(63). 2. Найдите сотую цифру после запятой в десятичной записи числа 1/7. 3. Разделите 'уголком' число 1 на а) 9; б) 99; в) 9999999. г) Докажите общее правило: 1 / 99K9 = 0, 00...01 . 13 2 13 2
n
n -1

FG H

IJ K

а делить на 10 очень легко достаточно перенести запятую на одну позицию. В общем случае выделим в знаменателе степени двойки и пятерки, т. е. запишем дробь в виде m 2 5 k , где a, b неотрицательные целые числа, k натуральное число, не кратное ни 2, ни 5. Обозначим наибольшее из чисел a, b буквой c и выполним преобразование:
m 25k
ab

e

ab

j

=

m 2 5 25k
ab

c

c

:10 =

c

:10 . k Значит, для решения вопроса о длинах периодов десятичных дробей достаточно изучить дроби со знаменателями, не кратными ни 2, ни 5 (т.е. со знаменателями, взаимно простыми с числом 10).
Упражнения 9. Зная, что 1/13 = 0,(076923), запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую дробь 0,(692307). 10. Зная, что 7/17 = = 0,(4117647058823529), обратите в десятичные дроби числа а) 12/85; б) 3/68. 11*. а) Докажите, что длина наименьшего предпериода десятичного представления правильной несократимой дроби со знаменателем n = 2a5b k , где a, b, k целые неотрицательные числа, причем НОД(k,10) = 1, равна c = max(a,b). б) Докажите неравенство c log2 n и убедитесь, что равенство достигается для a чисел вида n = 2 и только для них. в) Пусть хотя бы один делитель натурального числа n отличен от 2 и 5. Докажите неравенство c log2 n 3 и убедитесь, что равенство достигается для чисел вида n = 3 2a и только для них. 12*. Докажите, что если в периоде десятичного представления дроби m/n, где m и n натуральные числа, встретилась последовательность цифр 167, то n > 100.

=

m2

c- a c-b

5

c

;
r

bg

4 Существуют и непериодические дроби, например, десятичная дробь 0,1010010001..., где количество нулей между единицами все время увеличивается на 1. Но в этой статье они никак не будут использованы.


ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

27
тельно,

Числа вида 99...9
Взглянем на равенства 1/7 = = 0,(142857) и 1/13 = 0,(076923). Заметьте: 142857 7 = 999999 и 76923 13 = 999999. Это не случайность: как вы помните, в правиле преобразования чисто периодической дроби в обыкновенную фигурирует число 10 1 = 9K9 . Поэтому мы займемся числами этого вида. Лемма 1. Для всякого натурального числа k, не кратного ни 2, ни 5, существует такое натуральное число r, для которого разность 10r 1 кратна n. Доказательство. Первый способ для любителей многоточий. Рассмотрим k чисел: 9, 99, 999, ..., 99K9 . 13 2 Докажем, что хотя бы одно из них кратно k. Предположим противное: пусть ни одно из них не кратно k. Поскольку количество ненулевых остатков от деления на k равно k 1, какие-то два из k рассматриваемых чисел дают одинаковые остатки при делении на k. Разность этих чисел нацело делится на k и представляет из себя несколько девяток, после которых написано несколько нулей:
99K9 - 99K9 = 99K900K0 1 3 1 3 1 31 3. 2 2 22
r+ s s r s k r r

где t натуральное тельство завершено6 .
Упражнения

число5

. Доказа-

m k

=

mt kt

= mt

1 10 - 1
r

.

;

13. Сколько чисел, кратных 13, имеется среди первых ста чисел последовательности 1, 11, 111, ...? 14. Если число вида 11...1 кратно 7, то оно кратно и 11, и 13, и 15873. Докажите это. 15. Первую цифру k-значного числа, кратного 13, стерли и записали позади последней цифры этого числа. При каких k полученное число кратно 13? (Например, из кратных 13 чисел 503906 и 7969 таким образом получаем числа 39065 и 9697, первое из которых кратно 13, а второе нет.) 16. Для каких пар натуральных чисел (m, n), где n > 1, число 100K01 кратно 13 2 числу 11K1 ? 13 2
n

Воспользовавшись равенством r 1/(10 1) = 0,( 00K0 1), получаем 13 2

m k

= mt 0, 00K01 . 13 2
r -1 r

b

r -1

g

Поскольку m < k, то mt < kt < 10 , так что произведение числа mt на число 0, 00K01 это периодическая дробь, 13 2

b

m

Поскольку k взаимно просто с 10, из делимости числа 99K900K0 на k сле1 31 3 22
r s

дует, что число 99K9 нацело делится 13 2
r

17. а) Если p простое число и наименьший период десятичного разложения дроби 1/p состоит из 2n цифр, то сумма двух n-значных чисел (могущих начинаться и с нуля), образованных первыми n и последними n цифрами периоn да, равна 10 1. Докажите это. (Например, 1/13 = 0,(076923), при этом 76 + + 923 = 999. Простота знаменателя существенна: 1/21 = 0,(047619), но 47 + + 619 999.) б) Длина наименьшего периода десятичного представления дроби 1/p, где p простое число, четна в точности тогда, когда p является делитеn лем некоторого числа вида 10 + 1. Докажите это. 18. а) Найдите длину наименьшего периода десятичного представления дроби 1/31. б) Докажите, что никакое число вида 100...01 не кратно 31. 19 (М981). Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере а) 8; б) 128; в*) 1024 различных делителя.

длина периода которой равна r, а период десятичная запись числа mt, возможно, дополненная слева необходимым количеством нулей. Нам осталось только понять, почему наименьшему возможному числу r соответствует наименьший возможный период. Но это сразу ясно из правила перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную. Теорема 2 доказана. Она вполне ясно характеризует длину r периода чисто периодической десятичной дроби. А если есть предпериод, то надо вспомнить равенство c- a c-b m m2 5 c = :10 , ab k 25k и ответ станет очевиден: Следствие теоремы 2. Длиной наименьшего периода десятичного представления несократимой дроби m/n, ab где n = 2 5 k , a,b 0 и НОД(k,10) = = 1, является такое наименьшее наr туральное число r, что 10 1 кратно k. Следствие следствия теоремы 2. Длина наименьшего периода десятичного представления несократимой дроби m/n зависит только от знаменателя n, а не от числителя m.

r -1

g

на k. Лемма доказана.
Второй способ для тех, кто не любит многоточия. Рассмотрим числа 1, 10, 102 , ..., 10k -1 . Ни одно из них не кратно k. Поскольку количество ненулевых остатков от деления на k равно k 1, какието два из k рассматриваемых чисел дают одинаковые остатки при делении на k. Разность этих чисел:
10
r+ s

Длина периода
Теорема 2. Если m, n взаимно простые натуральные числа, причем n взаимно просто с 10 и m < n, то в десятичном представлении дробь m/n является чисто периодической. Длина ее наименьшего периода это такое наименьшее натуральное число r, что 10r 1 кратно n. Доказательство. По лемме 1, 10r 1 = kt для некоторых натуральных чисел r и t. Следоваn 1234

Функция L(n)
Обозначим через L(n) длину наименьшего периода десятичного представления дроби 1/n (см. таблицу 1). В силу ab следствия теоремы 2, если n = 2 5 k , где a,b 0 и НОД(k,10) = 1, то L(n) = L(k) = r, где r это наименьшее r натуральное число, для которого 10 1 кратно k. Таблица 1
5 1 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 12 1 6 61 1 16 16

- 10 ,

s

где 0 s < r + s < k , нацело делится на k.

Из
s

10 10 - 1 на k и из взаимной просто-

ты чисел 10 и k следует, что 10 1 кратно k, т.е.
10 1 = kt,
7*
r

FH

делимости
r

IK

произведения
r

L(n) 1

11

1

5 Например, для k = 7 можно взять r = = 6; при этом t = (106 1)/7 = 142857. 6 Между прочим, оно замечательно не только отсутствием многоточий, но и тем, что показывает: существует нужное нам число r < k, а не только r k .

Функция L определена на всем множестве натуральных чисел7 , но в дей7 Напоминаем, что в доказательстве теоремы 1 мы договорились периодом конечной десятичной дроби считать число 1.


28
ствительности интерес представляют только числа, взаимно простые с числом 10. r Очевидно, если 10 1 кратно каждому из двух взаимно простых натуr ральных чисел m и n, то 10 1 кратно и произведению mn. Следовательно, верна следующая теорема: Если m, n взаимно простые натуральные числа, то L(mn) = = НОК[L(m),L(n)].
Упражнения 20. Найдите длину наименьшего периода дроби а) 19/42; б) 2000/(3 7 11 1313). 21. Какой может быть длина периода суммы двух бесконечных десятичных периодических дробей, длины периодов которых равны а) 6 и 12; б) 12 и 20? (Пункты а) и б) составляют содержание задачи М1399.) в) Для любых двух натуральных чисел r и s через f(r,s) обозначим произведение таких степеней p a простых чисел, для которых ровно одно из чисел r, s кратно p a и не кратно a +1 при этом степени p , а другое из чисел r, s не кратно числу p a . (Например,
f 2 3 11 , 2 3 11 23 = 2 11 23 .)

КВАНT 2000/?2

ся делителем числа p 1, иногда совпадая с ним (см. таблицу 2). А именно, L(p) = p 1 для p = 7, 17, 23, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193 и некоторых других чисел 8 . Таблица 2

р

3 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

L(p) 1 6 2 6 16 18 22 28 15 3 5 21 46
Мы докажем эту закономерность чуть ниже, а пока рассмотрим следующие разложения: 1/7 = 0,(142857), 2/7 = 0,(285714), 3/7 = 0,(428571), 4/7 = 0,(571428), 5/7 = 0,(714285), 6/7 = 0,(857142). Периоды этих шести дробей начинаются сразу после запятой и получаются друг из друга циклическим сдвигом. Это могло бы показаться случайным курьезом, будь мы любителями 'занимательной' математики. Но не будем столь наивны и внимательно рассмотрим этот эффект. Возьмем вместо 7, например, 41. Очевидно, 1/41 = 0,(02439). 'Прокрутим' период: 0,(24390) = 10/41, 0,(43902)=10 0,(24390) 2 = =

если натуральное число n взаимно просто с 10 и отлично от 1, то все правильные несократимые дроби со знаменателем n разбиваются на циклы по L(n) дробей в каждом цикле. Значит, количество таких дробей кратно числу L(n). (В частности, если p простое число, то все дроби вида m/p, где 1 m < p, несократимые, откуда и следует обнаруженная юным Гауссом закономерность!)
Упражнения 22. а) Решите ребус: ПЛОМБА 5 = = АПЛОМБ. (Здесь в записях шестизначных чисел ПЛОМБА и АПЛОМБ разные буквы обозначают разные цифры.) б) Найдите шестизначное число, уменьшающееся в 5 раз при переносе первой цифры в конец числа. в) Решите ребус: НИКЕЛЬ 6 = ЕЛЬНИК. (Указание. В словах ребуса использованы два слога: НИК и ЕЛЬ. Обозначьте НИК = x и ЕЛЬ = y.) г) Существует ли шестизначное число, которое при умножении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает числа, записанные теми же цифрами, что и само число, но в другом порядке? д) Найдите все шестизначные числа, которые увеличиваются в целое число раз при переносе последней цифры из конца в начало. 23. Пятизначное число делится на 41. Докажите, что если его цифры циклически переставить, то полученное число тоже будет делиться на 41. 24. Число оканчивается на 2. Если эту цифру перенести в начало числа, оно удвоится. Найдите наименьшее такое число. 25 * (М1252). Пусть a и n натуральные числа, a > 1. Докажите, что количество правильных несократимых дробей со знаменателем a n 1 кратно n.

Докажите, что числу f(r,s) кратна длина t наименьшего периода суммы любых двух десятичных дробей, длины наименьших периодов которых равны r и s. г) Докажите, что длина наименьшего периода суммы двух периодических дробей является делителем наименьшего общего кратного длин их периодов. д) Пусть r, s, t натуральные числа, причем t кратно числу f(r,s) и является делителем числа НОК[r,s]. Приведите пример двух десятичных периодических дробей, длины наименьших периодов которых равны r и s, а длина наименьшего периода их суммы равна t.

FH

3

6

4

2

IK

4

6

100 41 180 41 160

2 = 18/41,

0,(39024)=10 0,(43902) 4 = = 4 = 16/41,

Теорема Эйлера
Количество правильных несократимых дробей со знаменателем n обозначают через n (см. таблицу 3) 9 . Для любого простого числа p, очевидно, p = p 1. Таблица 3

Наблюдения Гаусса
Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, будучи гимназистом, обращал дроби вида 1/p, где p простое число, отличное от 2 и 5, в бесконечные десятичные дроби: в каждом случае он с поразительным терпением ожидал, когда знаки начнут повторяться. Ему хотелось понять, как зависит длина периода такой дроби от p. Выписывание полного периода, скажем, для p = 47 утомительное занятие (46 знаков!). Однако Гаусc не терял надежды и продолжал вычисления: он выписал периоды для всех простых чисел p < 1000. Главная закономерность, которую он обнаружил, состоит в том, что длина L(p) наименьшего периода такой дроби являет-

0,(90243) = 10 0,(39024) 3 = = 3 = 37/41.

41 Получили цикл из пяти n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 чисел: 1, 10, 18, 16, 37. 1 1 2 3 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 Каждое число этого n цикла остаток от деления удесятеПоскольку n правильных несокренного предыдущего на 41. ратимых дробей можно разбить на Если бы мы начали с 2/41 = циклы по L(n) дробей в каждом цик= 0,(04878), то получили бы друле, то верна следующая теорема: гой цикл: 0,(48780) = 20/41, Теорема 3. Если n натуральное 0, (87804) = 36/41, 0,(78048) = число, то p кратно числу L(n). = 32/41, 0,(80487) = 33/41. Следствие. Если n натуральное Всего для p = 41 получаем 8 циклов, число, взаимно простое с числом 10, bng по 5 дробей в каждом. В общем случае, то 10 1 кратно n.

bg

bg

bg

bg

bg

Конечно или бесконечно множество чисел, для которых L(p) = p 1, по сей день неизвестно.

8

9 Подробнее об этой функции можно прочитать в статье В.Сендерова и А.Спивака 'Малая теорема Ферма' (см. 'Квант' ?1 за 2000 г.).


ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

Если бы мы рассматривали не десятичную систему счисления, а систему счисления с основанием a, где a отличное от единицы натуральное число, то аналогичным образом получили бы утверждение, которое называют теоремой Эйлера: Если n натуральное число, взаимно простое с целым числом a, где a > bn g > 1, то a 1 кратно n. 10

Таким образом по индукции можно доказать, что число 11K11 кратно чис12 3 лу 3 , т.е. число 99K3 кратно числу 1299 44
3 , откуда L 3 3 . А если мы еще заметим, что использованные нами числа 100...00100...001 делятся только на 3, но не на 9, то получим точный
n+2 n 3
n n

... + 1 + p - 2 px + 1 + p - 1 px = = p+p
2

db

gid b gi pb p - 1g x p cmod p h 2

29
.

ej
n +2

3

n

Лемма доказана. А теорему докажите в качестве (трудного, но не слишком) упражнения (29).
Упражнения n 26. Число 10 3 1 кратно 3n + 2 , но не n+3 кратно 3 . Докажите это. 27. Какое наименьшее количество единиц подряд надо написать, чтобы получилось число, кратное а) 999 999 999; 11 kl 9 б) 9 ; в) 11 ; г) 3 7 , где k, l натуральные числа? 28. На какую наибольшую степень 2000 двойки делится число 5 1? 29. Докажите теорему 4. 30. Докажите, что если p простое число, p 2 , то сумма 1 + a + a2 + ... 2 ... + ap-1 не кратна p ни для какого целого числа a. 31. Докажите, что в периоде бесконеч100 ной десятичной дроби 1 3 имеется любая последовательность из 46 цифр. (Чуть в иной формулировке эта задача была в 'Задачнике 'Кванта' под номером М1280.) 32 (для тех, кто любит программировать). а) Найдите хотя бы одно такое простое число p > 5, что длины периодов разложений в десятичные дроби чисел 1/p и 1/ p2 совпадают и равны p 1. б*) Найдите еще одно такое простое число. (Неизвестно, бесконечно ли множество простых чисел со свойством L(p) = L( p2 ). Неизвестно и то, существует ли хотя бы одно простое число p > 5, для которого 3 L(p) = L( p ).)

Чему равно L pm ?
Число 111 делится на 3. Далее, число 111111111 = 111 1001001 делится на 9 как произведение двух чисел, каждое из которых делится на 3.11 Записываемое 27 единицами число 111111111111111111111111111 = = 111111111 1000000001000000001 делится на 27 как произведение числа, кратного 9, и числа, кратного 3. И вообще, равенство

ej

результат: L 3 =3 . Нельзя ли подобным образом изуm чить функцию L p , где p простое число, m натуральное число? Оказывается, можно. k Теорема 4. Если p наивысшая степень простого числа p, которой Lb p g кратно число 10 1, то для любого неотрицательного целого числа m k+m m верна формула L p = p Lp. =3 и (Например, L 3 m = 6 7 .) Доказать теорему 4 вам поможет следующая лемма. Лемма 2. Если a = 1 + px, где p простое число, p > 2, x целое число, p- 2 то сумма a p -1 + a + ... + a + 1 2 кратна p, но не кратна p . Доказательство леммы 2. Легко понять (рассуждая по индукции или применив бином Ньютона), что при 2 p -2 2 делении на p числа a, a , ..., a и p -1 a дают такие же остатки, как 1 + px, 1 + 2px, ..., 1 + (p 2)px и 1 + (p 1)px. Следовательно,

ej ej
n+2

n

e

m+ 2

e

j

j

m

bg Le7 j =
m +1

111K11111K11111K11 = 123 123 123 44 44 44
3n 3n

= 111K11 100K0000K001 123 123 123 44 44 44
3
n

3n

3 -1

n

3 -1

n

показывает, что если число, записываn n емое 3 единицами, кратно 3 , то n +1 единицами, число, записываемое 3 n +1 кратно 3 .
10 Честно говоря, условие a > 1 излишне: если нас интересуют остатки от деления на n, то из любого целого числа a, прибавив к нему n необходимое количество раз, можно получить число, большее единицы. 11 Впрочем, можно было воспользоваться признаком делимости на 9.

1 + a + a +K+ a

2

p -2

+a

p -1



1 + 1 + px + 1 + 2 px + K

b

gb

g

НАМ ПИШУТ

Заглянем в центр звезд
Просматривая таблицу 'Физические параметры некоторых звезд' (которая частично здесь приводится) из 'Справочника по физике' А.С.Еноховича, трудно удержаться от попытки оценить температуру в центрах звезд и сравнить ее с реальной. Будем считать, в первом приближении, звезду водородной. Поскольку она находится в равновесии, разумно приравнять, по порядку величины, средние энергии протона теплового движения и гравитационного взаимодействия: kT;GMmp d . Здесь k постоянная Больцмана, Т температура звезды, G гравитационная постоянная, М и d масса и диаметр звезды, m p масса протона. Имеем расчетную GMm p , на основании которой строим пятую формулу T; kd графу таблицы. Сравнив ее со второй графой, видим достаточно хорошее совпадение.
8 Квант ?2

Звезда

T, K
5,4 10
7 7

d (по М (по В ычисленная сравнению с сравнению с температура,K Солнцем) Солнцем)
7 5
7

Ориона

27 11 2,8 1,2
1,0 0,58 0,30

4,47 10 2,55 10 , 148 10 7,73 10 , 116 10 , 103 10

7

Спика (Девы) 3 10

7

В ега ( Лиры) 18 10 , Процион А
8 10
6

2,2 1,8 1,0 0,65 0,41

7

6

Центавра А Волопаса В

13 10 , , 10 10

7

7

7

7

Kрюгер 60 А 8,5 10

6

8,48 10

6

В.Дроздов