Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/01/59.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:41 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:43 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: uv

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

59

1. 5 км. 23 + k , 3. 36 129 + 31 4. 2 и

2. 3 7 8; + . 35 + k , k Z . 36 . Указание. Пусть O1 AD = (рис.6). Тогда
O2 AD = 2

lq

Вариант 3

g

4. 2 3 2 - 4 . Указание. Из условия следует, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, центр которой совпадает с основанием высоты пирамиды. Задача сводится к нахождению радиуса этой окружности. 2 + 2 l , l Z . Указание. Уравнение можно пе+ 2 l , 5. 6 3 реписать в виде

< = AM . tg 2 tg Пусть также DM = u, DN = v. Из подобия треугольников O1 DM и O2 DN следует, что uv = 32. Кроме того, u + v = = FD + DE = 129 . A Из этих соотношений следует, что MN = = u v = 1. Исключая из соотноше8 ний tg 2 = , tg = x N 4 O = , получим, что O M x +1 х = 15, а AD = x + v.

AN =

8

4

b

tg 14 x + 3 ctg 14 x +

Оценивая выражение в первой скобке с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, рассмотрим два случая. Пусть сначала tg 14 x > 0 . Тогда tg 14 x + 3 ctg 14 x 2 3 , причем равенство достигается при tg 14 x = 3 ctg 14 x tg 14 x =
3.

g FGH

2 sin 3 x +

F GH

4

I - 1I JK JK

2

= 2 3.

Таким образом, вся левая часть преобразованного уравнения не меньше 2 3 . Поэтому получаем эквивалентную систему

B
Рис. 6

F

D

E

C

уравнение к виду
3

5. a 1; 2 7 2; 3 . Указание. Приведите
1 t

gb

FG H

2 t -1

IJ b a - 2 g2 K

+1

-2 =

,

При tg 14 x < 0 решений нет. 6. 6 - 2 . Указание. Положим АС = х, ВС = у, АВ = z. Тогда z = xy sin 75њ ,

Rtg 14 x = 3, | | S F I |sin GH 3 x + 4 JK | T

=

1 2.

. При а = 2 решений нет, а при a 2 решениями a-2 служат t = +1 (убедитесь, что других решений нет). 6.
1 6 V- 2 3 RV
2 3

где t =

x+a

F GG H

F GG H

m - 4R 2


2

2

I JJ K

2

- 4 mV


I JJ K

-2

Так как

R | | S | | T

z = x + y - 2 xy cos 75њ , x + y + z = 4 + 6 - 2.

2

2

2

.


Указание. Пусть AD = a , AB = b , AA1 = c . По условию


a b = b c = c a = 0 , a a = a2 , b b = b , c c = c , причем







2



2

Введем обозначения

R | | S | | T

22 эта система принимает вид z , xy = sin 75њ

sin 75њ=

3 +1

, cos 75њ=

3 -1 22

,

a + b + c = m, a + b + c = 4R , abc = V. A1 N1 AC1 1
2 2 2 2 2

( )

Исключая х, у, получаем
= , = . =

R | | | | S | | | | T

z = x+y

2

b

g

2

- 2 xy 1 + cos 75њ ,

b

g

x + y = 4 + 4 cos 75 њ- z.

AM1

Тогда
V1 = VAA
1M1 N1

AB1

z = 4 + 4 cos 75њ- z
Отсюда

b

g

2

-

2z sin 75њ

b1

+ cos 75њ .

g

V. 6 Выразите и через а, b, c, получите затем выражение суммы объемов пирамид, после чего исключите а, b, c, пользуясь системой ( ).
1B1N1 1 B1C1

= VAA

= VAA

z=

8 sin 75њ 1 + cos 75њ 1 + 4 sin 75њ

b

g

=

8 sin 75њ+ 4 sin 150њ = 2. 4 sin 75њ+1

Вариант 4
1. arccos - -3 cos - 1 < 3. -1;

По теореме синусов находим z = R= 2 sin 75њ
3

6 - 2.

F GG H

e

1- 5 2

замены t = log

OP PQ

7 0;
x +1

F GG H

j

19

1+ 2

5

x - 2 получаем 2t + 2 -3 - 3t t -1 .

OP PQ

24
7

.

2.

2 3

+4 2- 3 .

Вариант 5
+ 2 n , n Z .

LM MN

1 + 13 2

; + . Указание. После

I JJ K

1. n , + 4. 5/2.

2. 3 + 65

e

j

2.

3. (1; 0).

6. q 2 p + q

b

gb

5. х = 1; у = 3.
p + q . Указание. Пусть PQ = x. Тогда x q = BP BM

g

.