Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/01/57.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:41 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:42 2012 Кодировка: Windows-1251

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,
max a,b r

РЕШЕНИЯ

57

Очевидно, сумма цифр числа n равна s. Поскольку 10
a b r 2r

bg

делится нацело на 2 5 и 1 + 10 + 10 + ... + 10 s 0 (mod t), число n кратно s. 36. 2a +1 5b 1 37. а) pq = pq - q - p + 1 = p - 1 q - 1 . 38. а) x = 3; б) x = 3, y = 2. 40. n 2 . 41. а) Пусть простое число p входит в разложения чисел m и n на простые множители, соответственно, в s-й и t-й степенях. Для определенности пусть s t . Если s > 0, то число p входит в разложения на простые множители чисел НОК(m,n) и НОД(m,n) в t-й и s-й степенях. Значит, если s > 0, то благодаря числу p при подсчете значений функции Эйлера m , n , НОК m, n и НОД m, n возникнут, соответствен-

b s -1 g

bg

b

gb

g bg

Если же сначала разделить 2K пополам, то 1 + f(K) 2 + f(K 1) операций. Теперь легко доказать, что f(n) = m + am + am -1 + а), б) В частности, f 100 = f 110010 0 2 =

+ 0 + 1 + 0 + 0 = 9 и f 9907 = f 100110 101100 112 = 13 + 1 + + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 = 21. 44. б) The magic words are squeamish ossifrage.

bg d bgd

i

потребуется лишь индукцией по m ... + a1 + a0 . 6+1+1+0+

i

Калейдоскоп'Кванта'
Вопросы и задачи

но, множители p p -1 , p p -1 , p p -1 и p p -1 . Если же s = 0, то p не входит в разложения на простые множители чисел m и НОД(m,n), а в разложения чисел n и НОК(m,n) оно входит в одной и той же степени. в) Следует из пунктов а) и б). г) Поскольку НОД m, n > НОД m, n , из равенства предыдущего пункта следует, что m n < mn . 42. а) x = 19, 38, 27 или 54. б) x = 13, 26, 21, 42, 28 или 36. в) Так как при x > 2 число x четно, то четным должно быть и само число x. Поскольку каждое второе натуральное число четно, x x 2 . Следовательно, 12 = x x x x x = , откуда x 24. Ответ: x = 18, 20 или 22. 2 2 г) Ответ: x простое число. Указание. Если p простое

bg d

b gi b
s -1

d g

t -1

b gi bg

bg
g

t -1

b

g

s -1

b

bg

d

b gi b gbg b g

bg

bg

bg

=p p число, m натуральное число, то p m 2m p p , причем неравенство обращается в равенство лишь при m = 1. Далее, для любых отличных от 1 натуральных чисел x и y докажите неравенство

ej
2m 2

2m

2 m -1

e

x - x y - y < xy
2 2

2

je

2

Теперь легко доказать, что x для любого составного числа x. m д) x = 2 , где m натуральное число. е) Число x кратно 3. Поэтому его можно представить в виде m x = 3 y , где m натуральное число, а y не кратно 3. Поскольку 3 y = 3
x = x 3 принимает вид 2 y = y. Последнему уравнению удовлетворяют, как мы знаем из предыдущего пункта этого k m упражнения, только степени двойки. Ответ: x = 2 3 , где k, m натуральные числа. ж) Указание. Если бы в разложении числа x на простые множители содержалось более одного нечетного простого числа, то степень двойки в левой части равенства была бы выше, km чем в правой. Если x = 2 p , где k, m натуральные числа, k -1 m -1 p нечетное простое число, то x = 2 p - 1 p , и уравнение x = x n можно записать в виде p 1 = 2 p n . Ответ: решений нет. з) В силу пункта в) предыдущего упражнения, nx n x . Следовательно, n 1 , т.е. n = 2. При n = 2 в качестве x можно взять любое нечетное число. 43. в) Задачу удобно решать с конца, т.е. искать кратчайший способ получения нуля из произвольного числа n с помощью двух операций вычитания единицы и деления пополам. Пусть f(n) число операций в таком кратчайшем способе. Если n = 2k + 1 нечетное число, то делить его пополам нельзя, так что f(2k + 1) = 1 + f(2k). Докажем индукцией по k, что f(2k) = 1 + f(k). Для k = 1 это ясно. Пусть утверждение доказано для всех k < K. Если из числа 2K сначала вычесть единицу, то для получения нуля потребуется как минимум 1 + f(2K 1) = 2 + f(2K 2) = 3 + f(K 1) операций.

jbg ex j < x -
= 23
m -1

- xy .

bg

ej
m

e j b y g
m

bg

y , то уравнение

bg

bg

bg

b

g

b g bgbg

bg

1. Поскольку оба тела движутся с одинаковыми ускорениями, расстояние между ними будет оставаться неизменным. 2. Вес человека, полностью погруженного в воду, пропорционален ускорению свободного падения и разности плотностей его тела и воды. Если вода на Земле и на Луне одна и та же, то легче плавать на Луне, где ускорение свободного падения примерно в 6 раз меньше, чем на Земле. 3. Да. 4. По закону всемирного тяготения по мере удаления от Земли сила притяжения уменьшается от mg до нуля. Поэтому вес тела убывает от 2mg у поверхности Земли до mg на бесконечности. 5. Нет. 6. Космонавтам приходится спать вниз головой, чтобы обеспечить привычный за время полета приток в нее крови, как в невесомости. 7. Да, поскольку невесомость не сказывается на тепловом расширении жидкости. 8. Нет. 9. Это связано с вращением Земли вокруг собственной оси. 10. У крупных массивных тел сила тяжести преобладает над силой упругости и 'топит' любую выступающую часть планеты. На астероидах и ядрах комет сила тяжести ничтожна, их форма определяется процессами соударения, слипания и разрушения, поэтому может быть весьма разнообразной. 11. Из-за сплюснутости Земного шара у полюсов длина пути по меридиану будет меньше, чем по экватору; поэтому второй путешественник вернется раньше. 12. Со скоростью, при которой линейная скорость на экваторе сравняется с первой космической скоростью. 13. Обратимся к объяснению Ричарда Фейнмана: ' притяжение Луной суши и воды уравновешено в центре < Земли А.Л. >. Но притяжение Луной тех масс воды, которые находятся на 'лунной' стороне Земли, сильнее, чем среднее притяжение всей Земли, а притяжение масс воды на обратной стороне Земли слабее среднего. Кроме того, вода в отличие от суши может течь. Истинная причина приливов определяется этими двумя факторами'. 14. На приливное действие Луны накладывается приливное действие Солнца. 15. В те далекие времена (около двух миллиардов лет назад) затмения были не только более продолжительными, но и значительно более частыми ведь лунная тень покрывала значительно большую площадь Земли, чем сейчас. 16. Из-за неоднородности поля тяготения Солнца даже на сферически симметричной планете, не вращающейся вокруг своей оси, ускорения свободного падения в разных точках поверхности планеты оказались бы неодинаковыми.
Микроопыт

Нет. На вас со стороны воды действует выталкивающая сила, равная силе тяжести; значит, с вашей стороны на воду действует ваш вес.

ДвезадачиАрхимеда
1. Пусть АВ = 2R, АС = 2r, тогда площадь арбелона S = 2 2 2 2 = R -r - R-r 2 = r R - r . Из равенства CD =

e

b

gj

b

g