Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/01/49.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:40 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:09 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: comet

ВАРИАНТЫ

49
Вариант 7 (химический факультет) 1. Решите неравенство 1 2. 1 1+ x 2. Решите уравнение

Вариант 4 (факультет вычислительной математики и кибернетики) 1. Известно, что tg = 3 . Сравните 19 arccos - -3 cos - 1 и . 24 2. На координатной плоскости (х, у) проведена окружность радиуса 4 с центром в начале координат. Прямая, заданная уравнением у = 4 2 - 3 x , пересекает ее в точках А и В. Найдите сумму длин отрезка АВ и меньшей дуги АВ. 3. Решите неравенство

e

j

6. В ромбе ABCD высоты ВР и BQ пересекают диагональ АС в точках М и N (М между А и N), АМ = p, MN = =q. Найдите PQ. 7. При каких значениях а уравнение

e

j

log

x +1

b

x-2

g

4

+2
1 +1

cos 2 x + 2 cos x - 2 a - 2a + 1 = 0 имеет ровно одно решение на промежутке 0 x < 2 ? 8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1C1 D1 ( AA1 || BB1 || CC1 || DD1 ) АВ = ВС = 2а, AA1 = а. Плоскость сечения проходит через точки B1 и D параллельно прямой АС. Найдите радиус шара, касающегося этого сечения и трех граней параллелепипеда с общей вершиной В.
Вариант 6 (физический факультет) 1. Решите уравнение
cos 7 x + cos 3 x + 2 sin x = 1 .
2

2

e

sin x + cos x - 2

d

3. Решите неравенство
log
2 3- x 2 x +1

j

-11x - x - 30 = 0 .

2

b2 x + 1gielog x j b dlog b 3 x + 1gidlog
3- x 3 x +1

x+2 .

gi

-3 + log
4. В SABCD щенные ны 2 .

b

x-2

g

6

.

четырехугольной пирамиде высоты боковых граней, опуиз вершины пирамиды S, равИзвестно, что АВ = 2, ВС = 6, 2 АВС = , ADC = . Найдите вы3 3 соту пирамиды, если ее основание находится внутри четырехугольника ABCD. 5. Решите уравнение

2. Решите неравенство

2-

1 x-4

< 3.

tg 14 x + 3 ctg 14 x + sin 6 x -
2 2 sin 3 x +

6. В остроугольном треугольнике АВС угол АСВ = 75њ, а высота, опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найдите радиус описанной окружности, если известно, что периметр треугольника АВС равен 4 + 6 2 . Вариант 5 (физический факультет, олимпиада 'Абитуриент-99', май) 1. Решите уравнение 3x x sin x - sin cos = 0 . 2 2 2. Решите уравнение
x + 2 2x + 1 = x + 4 . 3. Решите неравенство 2 1 . log 3 x + 1 log 9 x + 5

FG H

4

IJ K

=

4 3 +1

.

3. В равнобочную трапецию ABCD ( BC | | AD ) вписана окружность, ВС : AD = 1 : 3, площадь трапеции 3 равна . Найдите АВ. 2 4. Решите систему уравнений 6 y +1 +23 = 21, 1- x 2

4. В треугольнике АВС угол В равен 6 . Через точки А и В проведена окружность радиуса 2, касающаяся прямой АС в точке А. Через точки В и С проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой АС в точке С. Найдите длину стороны АС. 5. В сферу радиуса 3 вписан параллелепипед, объем которого равен 8. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. 6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

x 2 -1 2 +1
x

e

x

j

+ 2a = a + 1

2

3 5. Решите уравнение

R | | S | | T

52

x+2

-

18
2- y

= 56.

имеет нечетное число решений. 7. Последовательность чисел a1 , a2 определяется следующим правилом: a1 = 0, a + 2, если число n нечетное, an +1 = n 2an, если ч исло n четное, т.е. a2 = 2, a3 = 4, a4 = 6, a5 = 12, a6 = 14 и т.д. Найдите a1999 . Вариант 8 (факультеты биологический и фундаментальной медицины) 1. Решите уравнение 8 cos 6 x - 12 sin 3 x = 3 . 2. Решите неравенство 3 2x + 5 . x -1 3. Решите уравнение 37 55 3 2 x+ log 8 - 7 x x - 3x - + 8 8

R S T

4. В треугольнике АВС взяты точка N на стороне АВ, а точка М на стороне АС. Отрезки CN и ВМ пересекаются в точке О, AN : NB = 2 : 3, BO : OM = 5 : 2. Найдите CO : ON. 5. Решите систему уравнений

b

g

b

g

R |2 | S | | T

F GH

y 3x + xy

I JK

4 1 +1 = . x-2 x-2 6. Через точку N проведены две прямые, касающиеся некоторой окружности с центром О. На одной из этих прямых взята точка А, а на другой прямой взята точка В так, что ОА = ОВ, ОА > ON, NA NB. Известно, что NA = a, NB = b, OA = c. Найдите ON. 7. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S боковое b ребро SA равно b. Сфера радиуса 2 касается плоскости SAC в точке С и проходит через точку В. Найдите ASC. 8. Для любого допустимого значения а решите неравенство log
2a

FG H

+ 2 log

b

8 -7 x

g2

b

IJ K

x + 3 = 1.

g

= 16, 1 3+ 2 .

y - 2x =

и найдите, при каком значении а множество точек х, не являющихся решением неравенства, представляет собой промежуток, длина которого равна 6.

el

og 3 x

2

j

>1

4. На основаниях AD и ВС трапеции ABCD построены квадраты ADEF и BCGH, расположенные вне трапеции. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Найдите длину отрезка AD, если ВС = 2, GO = 7, а GF = 18. 5. Найдите все значения у, удовлет1 воряющие условию y > , такие, что 2