Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/01/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:40 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:06 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА
2

45
где [v, B] векторное произведение.1 Проанализируем это уравнение. Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости v ; следовательно, эта сила не совершает работы, и по теореме об изменении кинетической энергии величина v скорости протона остается постоянной и равной своему начальному значению v0 . Сила Лоренца перпендикулярна также вектору индук ции B ; следовательно, составляющая v|| вектора скорости, параллельная вектору индукции, тоже остается постоянной и равной своему начальному значению v0 cos . Тогда величина v перпендикулярной вектору индукции составляющей скорости протона тоже остается постоянной и равной своему начальному значению v0 sin . Перейдем в инерциальную систему отсчета, движущуюся поступательно относительно лаборатории со скорос тью V = v|| . С учетом закона сложения скоростей и представления скорости в виде суммы составляющих:


По второму закону Ньютона,
m a = m g + T + FA ,


N

F

тp

или
m a = m g + T + FA1 + FA2 .


v

*

N

1

Переходя к проекциям сил и ускорения на вертикальную ось, находим

0 = -шVg - T cos + вVg ,
а проектируя силы и ускорение в горизонтальной плоскости на радиальное направление, получаем

Рис. 3

mg

шV r - l sin =
2

2

b

= вV r - l sin - T sin . Исключая Т из двух последних соотношений, определяем искомую угловую скорость:
= g tg r - l sin 11 c .
-1

g b

g

*** Умение описывать движение по окружности может существенно помочь при анализе движений по еще более сложным траекториям: винтовой линии или циклоиде. Действительно, движение по винтовой линии можно представить в виде суперпозиции движения по окружности и движения по прямой, перпендикулярной плоскости окружности и проходящей через точку окружности. Движение по циклоиде тоже возможно представить как одновременные два движения: по окружности и по прямой, лежащей в плоскости окружности. Задача 3. По длинной проволочной винтовой линии с шагом Н, ось которой вертикальна, скользит бусинка. Радиус воображаемой цилиндрической поверхности, на которой расположена винтовая линия, равен R. Коэффициент трения скольжения бусинки по проволоке ч ( ч < H/( 2 R )). Найдите установившуюся скорость v скольжения бусинки. Ускорение свободного падения g. На бусинку действуют силы тяжести m g , нормальной реакции N и трения Fтр . При этом Fтр = чN , как обычно, а N = N1 + N2 , где N1 горизонтальная составляющая, направленная к оси винтовой линии, а N2 лежит в одной вертикальной плоскости с m g и


естественно ожидать выхода движения на установившийся режим скольжения с некоторой скоростью v . Для определения этой скорости перейдем в инерциальную систему отсчета, движущуюся по вертикали вниз со скоростью v sin , где угол наклона вектора скорости к горизонту и tg = = H 2 R . В выбранной системе бусинка равномерно движется по окружности радиусом R со скоростью v cos , при этом ускорение бусинки направлено к оси винтовой линии и по 2 R . Из втовеличине равно v cos рого закона Ньютона

bg

c

h

m a = m g + N1 + N2 + Fтр ,











v = v + V = v + v||









переходя к проекциям сил и ускорения на радиальное направление, находим 2 v cos m = N1 . R

c

h

В вертикальной плоскости справедливо равенство

получаем, что в рассматриваемой системе протон движется в плоскости, перпендикулярной B , с постоянной по величине (но не по направлению!) скоростью v = v . Уравнение движения принимает вид
ma = e [v , B] .


0 = m g + N2 + Fтр ,
откуда, переходя к проекциям сил на взаимно ортогональные направления, получим
Fтр = mg sin , N2 = mg cos .







Отсюда следует, что величина вектора ускорения равна

a =

ev B m

=

eBv0 sin m

Из этих соотношений с учетом того, что Fтр = ч N1 + N2 , окончательно имеем
2 2

v = gR ч

b

g FH e
12

tg - ч

2

2

je

tg + 1

2

jIK

14

и постоянна, а его направление пер пендикулярно вектору скорости v . Значит, в рассматриваемой системе отсчета протон равномерно движется по окружности радиусом

R=
с частотой

v

Задача 4*. Протон движется в однородном и постоянном магнитном поле с индукцией B . Векторы начальной скорости v0 и индукции B образуют угол . Определите вид траектории протона в лабораторной системе отсчета. Масса протона m, заряд е. В соответствии со вторым законом Ньютона и выражением для магнитной составляющей силы Лоренца имеем
m a = e [v, B] ,


a

2

=

mv0 sin eB = eB m

=

v



R

,

не зависящей от скорости. Соответственно, движение протона относительно лабораторной системы отсчета осуществляется по винтовой
1 При решении этой и следующей задач используется понятие векторного произведения, которое известно учащимся специализированных классов физико-математического профиля. (Прим. ред.)

Fтр (рис.3). Из второго закона Ньютона следует, что с ростом величины скорости будет расти величина силы трения, так что