Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/01/23.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:39 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:21:30 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п р п р п р п р п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п р п п р п

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

23

П! K A

П

симметричен к отрезку A значит, KL ||

Тогда получим новые па раболы 1 , , (см. 3 2 рисунок), при этом 1 и L по-прежнему будут ка2 саться параболы , так B 3 как у этих пар парабол x по-прежнему будет ровно по одной общей точке A и B . Точки A и B лежат на П оси Ох, поэтому рисунок относительно серединного перпендикуляра B . Из этого следует, что K L || A B и, AB . Р.Карасев

с катетами d и vt и гипотенузой 3vt. Отсюда сразу находим и время t, и угол между направлением полета пули и направлением движения злодеев: d 1 t= , cos = . 2 2v 3 Элементарные рассуждения показывают, что стрелять нужно как раз в 'данный момент'. Я.Злодеев скользить без трения бусинка массой М (рис.1). К бусинке привязана легкая нерастяжимая нитка длиной L. Нитку мы тянем за свободный конец так, что скорость этого конца все время направлена вдоль нити и равна по величине v0 . С какой силой нужно тянуть в тот момент, когда нить направлена под углом к стержню? Нить все время находится в горизонтальной плоскости. Если бы скорость свободного конца нити была постоянной (а это не так вектор скорости все время поворачивается), можно было бы 'пересесть' в систему отсчета, которая связана с этим концом, в такой системе бусинка движется по окружности и можно легко записать необходимые уравнения. В нашем же случае система получилась бы неинерциальной, и никакого упрощения мы не получили бы. Будем действовать так. Нить нерастяжима это позволит Рис.1 v связать скорости концов нити при заданном значении угла . Дальше зададим очень малый интервал времени t , найдем новое положение бусинки и новое значение угла. После этого выразим новую скорость и найдем ее приращение за выбранный интервал t . Таким образом мы вычислим ускорение бусинки, после чего силу уже будет совсем просто + найти. Итак, пусть для угла скорость бусинки равна u L (рис.2), причем
u cos = v0 .
L v t

Ф1704. По прямому горизонтальному стержню может

М1695. Грани правильного октаэдра раскрасили в шах-

матном порядке. Докажите, что для любой внутренней точки сумма расстояний до плоскостей черных граней равна сумме расстояний до плоскостей белых граней. Плоскости, которым принадлежат грани каждого цвета, образуют равные правильные тетраэдры. Утверждение задачи следует из того, что сумма расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней постоянна и равна утроенному объему тетраэдра, деленному на площадь грани. (Чтобы доказать это, соединим точку с вершинами правильного тетраэдра и рассмотрим объемы образовавшихся частей, основаниями которых являются грани исходного тетраэдра.) Наметим другое доказательство. Каждую грань октаэдра будем считать основанием тетраэдра с вершиной в данной внутренней точке. Нужно доказать, что сумма объемов четырех 'черных' тетраэдров равна сумме объемов четырех 'белых'. Для читателя, знакомого с принципом Кавальери, это следует из того, что всякое сечение октаэдра, перпендикулярное его диагонали, по равной площади пересекается с 'черными' и 'белыми' тетраэдрами. Д.Терешин, В.Произволов

Ф1703. В компьютерной игре все движется в одной

плоскости. Меткий стрелок должен поразить двух злодеев одной пулей. Злодеи двигаются с одинаковыми постоянными скоростями v параллельно друг другу, находясь на расстоянии d один от другого, как показано на рисунке. Соединяющая их прямая перпендикулярна направлению скорости v. В данный момент стрелок находится на продолжении этой прямой на расстоянии L от ближнего злодея. Пуля после выстрела летит по прямой со скоростью 3v. Пронзая злодея, пуля не меняет ни направления движения, ни величины своей скорости. В какой момент нужно стрелять и под каким углом к направлению движения злодеев нужно выпусv тить пулю? На сколько дольше ближнего проживет дальd ний злодей? v Поразив первого злодея, пуля продолжает лететь вдоль той же прямой. Обозначим вреL мя, которое пуля летит от одного злодея до другого, через t. Тогда получится прямоугольный треугольник

Через малый интервал t конец нити сместится на Рис.2 v0 t , бусинка проедет ut , и теперь можно записать новое равенство

Раскрывая скобки, пользуясь известным выражением для косинуса суммы углов и заменяя конус малого угла на 1, а синус на значение угла, получим

>

u + u cos + = v0 .

C>

C

u cos = u sin .
Величину приращения угла можно найти из геометрических соображений например, используя теорему синусов

ut sin

=

L sin

.

Заменяя синус малого угла значением самого угла, найдем

=

ut sin L

.

6*